24.1圆的有关概念及性质讲义2023-2024学年人教版九年级数学上册

24.1 圆的有关概念及性质 · 1.圆的有关概念 ①圆：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做圆心，定长叫做半径. ②连接圆上任意两点的线段叫做弦. ③经过圆心的弦叫做直径. ④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. ⑤圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. ⑥大于半圆的弧叫做优弧. ⑦小于半圆的弧叫做劣弧. ⑧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 圆的中心对称性 ①圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. ②圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 题型1：圆的有关概念判断正误 例1：下列结论正确的是（ ） A.长度相等的两条弧是等弧 B.半圆是弧 C.弦是直径 D.圆是轴对称图形，不是中心对称图形 【答案】B 【解析】能够完全重合的弧是等弧，长度相等，不一定能够重合，故A项错误；弧分为优弧､劣弧､半圆，故B项正确；直径是最长的弦，但弦不一定是直径，故C项错误.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D项错误，故选B. 1-1.下列说法中，正确的是（ ） A.弦是直径 B.半圆是弧 C.过圆心的线段是直径 D.半径相等的两个圆是同心圆 1-2.下列说法中，错误的是（ ） A.半径是弦 B.半径相等的两个圆是等圆 C.半径相等的两个半圆是等弧 D.过圆内一点（非圆心）有条直径 1-3.下列说法中，正确的是（ ） A.长度相等的弧必是等弧 B.两个半圆就是等弧 C.同圆中优弧与半圆的差是劣弧 D.同圆中优弧与劣弧的差是劣弧 · 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 点拨：（1）垂径定理是证明线段相等､弧相等的重要依据.它的应用主要集中在“垂直”和“平分”两个方面. （2）有关弦长､弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形的知识进行求解. 题型2：利用垂径定理结合勾股定理进行计算 例2：已知的半径为，弦，点是上一点，且，直线与交于点，则的长为 . 【答案】或. 【解析】根据题意画出图形，连接，.由垂径定理可知，在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论.如图，图所示.点是上一点，且，∴，∴.∵，∴.∵的半径为，弦，∴.在中，∵，即，解得.当如图所示时，；当如图所示时，.故的长为或. 点评：对于仅用文字描述没有绘出图示，但有多种情形的问题，一定要分情况讨论，另外，垂径定理经常与勾股定理结合在一起进行考查，也是值得关注的. 2-1.如图所示，的直径，是的弦，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2-2.如图，以点为圆心的圆弧与轴交于，两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 . 题型3：垂径定理的应用 例3：在直径为的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面宽，则油的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，连接，过点作，交于点，交于点，∵直径为，，∴，.在中，.∴.故选A. 点评：半径､弦长的一半与弦心距构成了直角三角形，以此为基础，可进行相关的计算.同学们应熟悉此模型的应用. 3-1.高速公路的隧道和桥梁多，如图所示是一个隧道的横截面，若它的形状是以点为圆心的圆的一部分，路面，净高，则此圆的半径等于（ ） A. B. C. D. 3-2.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”用数学语言表述为：如图，为直径，弦于，寸，寸，求直径. · 3.圆心角､弧，弦之间的关系 ①定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ②推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 点拨：:圆心角､弧､弦之间的关系定理及推理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等､线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用. 题型4：已知弧相等及相应的圆心角，求其他角的度数 例4：如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，∴.∵是的直径，∴