21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 教师备课　素材示例 ●情景导入　十一黄金周刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点，下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人——代数学之父韦达. 【教学与建议】教学：借助情景，阅读了解历史中的代数学之父——韦达．建议：从轻松、愉快、高雅的氛围之中导入新课，自然过渡． ●归纳导入　解方程并填写下表． (1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋6x－16＝0 __2__ __－8__ __－6__ __－16__ 2x2－3x＋1＝0 __1__ ____ ____ ____ 5x2＋4x－1＝0 __－1__ ____ __－__ __－__ 　　【归纳】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根x1，x2与a，b，c之间的关系是x1＋x2＝－，x1x2＝. 【教学与建议】教学：求一元二次方程的根，明确一元二次方程根与系数之间的联系．建议：分小组计算． 命题角度1　根据根与系数关系求方程的解 利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1x2的值，然后再将已知的根代入x1＋x2或x1x2中，求得另一根． 【例1】已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根，则m的值是__－8__，方程的另一个根是__－5__． 命题角度2　已知一元二次方程求含根的代数式的值 先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子，再利用根与系数的关系代入求值计算即可． 【例2】(1)若x1，x2是一元二次方程5x2＝4－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D) A．－ B． C．－ D． (2)若方程x2＋3x－4＝0的两个根分别为x1，x2，则＋的值为____． 命题角度3　由两根关系式求参数的值 借助根与系数的关系求得参数的值． 【例3】(1)设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝__2__． (2)若关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且＋＝1，则m＝__3__． (3)已知m，n是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m2－n＋2 023的值是__2__027__． 命题角度4　根与系数的关系和根的判别式的综合应用 灵活运用根的判别式与一元二次方程根与系数的关系是解决方程中字母的取值等问题的关键．此知识作为考点出现在各地． 【例4】已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m使得x－x＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意，得Δ＝(2m－1)2－4×1×m2≥0，解得m≤； (2)存在．∵x－x＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝0，∴x1＝x2或x1＝－x2. ①当x1＝x2时，Δ＝(2m－1)2－4×1×m2＝0，解得m＝； ②当x1＝－x2时，x1＋x2＝－(2m－1)＝0，解得m＝. 与(1)问所求m的取值范围矛盾，舍去．综上所述，m＝. 韦达定理 韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系，中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系．法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，因此人们把这个关系称为韦达定理． 早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及，公元前480年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法． 公元628年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个求根公式．公元820年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》，书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在．同样可惜，他未认识到虚根这个概念． 16世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根，与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根．虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库． 历史是有趣的，虽然韦达在1