21.2.2 公式法（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

21.2.2　公式法 教师备课　素材示例 ●类比导入　解下列一元二次方程： (1)x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－7x＋1＝0；(3)5x2－15x＋14＝0；(4)2x2＋6x＋15＝0. 然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？ 接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程： (1)2x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－5x＋1＝0；(3)5x2－15x－40＝0；(4)2x2＋x＋15＝0. 问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？ 【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根. 问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？ 【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同．方程的根与系数有关系． 【教学与建议】教学：①复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；②让学生充分感受用配方法解各种题型；③引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答． ●复习导入　提问：怎样用配方法解一元二次方程？ (1)①移项； ②化二次项系数为1； ③方程两边都加上一次项系数的一半的平方； ④原方程变形为(x＋m)2＝n的形式； ⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． (2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 移项，得__ax2＋bx＝－c__．二次项系数化为1，得__x2＋x＝－__． 配方，得__x2＋x＋()2＝－＋()2__，即(x＋)2＝. 因为a≠0，所以4a2＞0. 当b2－4ac＞0时，得__x＋＝±__，所以__x＝－±__， 即x1＝，x2＝. 当b2－4ac＝0时，得x1＝x2＝－. 当b2－4ac<0时，方程无实数根． 【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习． 命题角度1　利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况 用式子b2－4ac判断方程根的情况：若b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；若b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 【例1】(1)一元二次方程x2－2x－1＝0根的情况是(D) A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 (2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况． ①2x2＋3x－4＝0; ②3x2＋2＝2x. 解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ②方程化为一般式为3x2－2x＋2＝0， Δ＝(－2)2－4×3×2＝0，∴方程有两个相等的实数根． 命题角度2　利用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b2－4ac与0的大小关系，最后代入公式求根． 【例2】解方程：16x2＋8x＝3. 解：方程化为16x2＋8x－3＝0.a＝16，b＝8，c＝－3. Δ＝b2－4ac＝82－4×16×(－3)＝256＞0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝＝， 即x1＝，x2＝－. 命题角度3　根据方程根的情况求字母系数的值或取值范围 利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围． 【例3】(1)若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(B) A．m≤ B．m＜ C．m≤ D．m＞ (2)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－1__． (3)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是__m≤且m≠1__． 命题角度4　一元二次方程根的判别式的实际应用 在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况. 【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20 dm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12 dm2.”他的说法对吗？请说明理由． 解：小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12 dm2.设此时其中一个正方形的边长为x dm，则另一个正方形的边长是(5－x)dm.由题意可得x2＋(5－x)2＝12.化简，得2x2－10x＋13＝0. ∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程没有实数根， ∴小峰的说法是对的． 考古结果表明，在大约公元前2000年，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊