21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

21.2　解一元二次方程 21．2.1　配方法 第1课时　用直接开平方法解一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值． 【分析】设这个正方形的边长是x m．由题意列方程，得x2－7＝9. 【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？ 【解】设这个正方形的边长为x m. 由题意，得x2＝16. 根据平方根的意义，得x＝±＝±4， ∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4. ∵边长不能为负数，∴x＝4. 即这个正方形的边长是4 m. 【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解． ●复习导入　(1)如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫做开平方．非负数a的平方根为__±__，非负数a的算术平方根为____． (2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3__；若x2＝5，则x＝__±__． 【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法． 命题角度　用直接开平方法解一元二次方程 形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±. 【例1】解下列方程： (1)(x－2)2－13＝108； 解：(x－2)2＝121， x－2＝±11. 解得x1＝13，x2＝－9； (2)x2＋10x＋25＝2. 解：(x＋5)2＝2， x＋5＝±. 解得x1＝－5，x2＝－－5. 【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 【例3】4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__． 高效课堂　教学设计 1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． ▲重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ▲难点 通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程． ◆活动1　新课导入 求下列各数的平方根： (1)144；　　　　　　　　　　(2). 解：原式＝±12; 解：原式＝±. ◆活动2　探究新知 1．教材P5　问题1. 提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程x2＝25吗？本题中负值为什么要舍去？ 学生完成并交流展示． 2.教材P6　第1个探究． 提出问题： (1)(__±__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？ (2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值； (3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？ (4)上述所解方程有什么共同点？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－，x2＝__；(2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，根据平方根的意义，方程__无__实数根． 提出问题： (1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？ (2)请谈谈如何降次． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为__两个一元一次__方程． ◆活动4　例题与练习 例1　解方程： (1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0. 解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)y1＝5，y2＝－5； (3)p1＝，p2＝－. 例2　解方程： (1)2(2x－1)2－10＝0； (2)y2－4y＋4＝8； (3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5， 直接开平方得2x－1＝±， ∴原方程的根为x1＝，x2＝； (2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得y－2＝±2， ∴原方程的根为y1＝2＋2，y2＝2－2； (3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2， 两边开平方得2(3x－