21.1 一元二次方程（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m.若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度． 引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__ m，宽为__(20＋x)__ m．根据矩形的面积为936 m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__． 【归纳】一元二次方程是只含有__一个未知数x的整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式． 【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2. ●复习导入　(教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！ 【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义． 命题角度1　根据定义判断一个方程是否为一元二次方程 一元二次方程化简后的特征：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D) A．ax2＋bx＋c＝0 B．＋x＝2 C．2x＝1 D．2＋x2＝10 (2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号) ①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－＝0. 命题角度2　利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围 根据一元二次方程的定义可以求方程中待定字母的值或取值范围． 【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则　(C) A．a≠±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝±1 (2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__． 命题角度3　利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值 一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等． 【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C) A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0 (2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__． (3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 015的值为__2__018__． 命题角度4　根据等量关系列一元二次方程解决实际问题 寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)． 【例4】用一条长100 cm的绳子围成一个面积为128 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B) A．x(50＋x)＝128 B．x(50－x)＝128 C．x(100＋x)＝128 D．x(100－x)＝128 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项． 2．会判断一个数是否是一元二次方程的根． 3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型． ▲重点 理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式． ▲难点 1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项． 2．从实际问题中抽象出一元二次方程． ◆活动1　新课导入 1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？ 解：如2 019＋18x＝2 020这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号) ①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0. ◆活动2　探究新知 1．教材P2　问题1. 提出问题： (1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？ (2)若设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm； (3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？ 学生完成并交流展