21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（人教版）

人教版·九年级上册 数学 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第二十一章 一元二次方程 1.写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2.一元二次方程的求根公式： 想一想：方程的两根 x1和 x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 教学设计 新课导入 探究新知 探究1：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋6x－16＝0 x2－2x－5＝0 2x2－3x＋1＝0 5x2＋4x－1＝0 -8 2 -6 -16 2 -5 1 -1 探究新知 探究2：若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1, x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 化成一般式 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 探究新知 探究3：如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？ ax2+bx+c=0(a≠0)（b2-4ac≥0）根据公式法得到两个根为： 知识归纳 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. 例题与练习 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0，　　　 (1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2. 例2 已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求 的值． 【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 【分析】分两种情况讨论：①当a=b时，直接得出答案；②当a≠b时，根据根与系数的关系科求出答案. 解：①当a＝b时， ＝2. ②当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1， 因此 因此 的值为2或－6. 1．教材P16 练习． 2.已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝ ． 3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，(x1－2)(x2－2)＝ ． 7 3 -7 随堂练习 随堂练习 4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m使得x1－x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． （1）△≥0 解： （2） 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c的关系： 课堂小结 2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知系数的方法： (1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项 (2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数． （1）教材P17习题21.2第7题； （2）见学生用书对应练习． 作业布置 $$