专题2.8 一元二次方程（章节复习考点讲练）2023-2024学年九年级数学上册真题汇编章节复习知识讲练（北师大版）

2023-2024学年北师大版九年级上册章节知识讲练 专题2.8 一元二次方程（章节复习+考点讲练） 知识点01一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 　 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释： 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 知识点02：一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点03：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. :2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　(1)不解方程判定方程根的情况； 　　(2)根据参系数的性质确定根的范围； 　　(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 知识点04列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 　　一是整体地、系统地审题； 　　二是把握问题中的等量关系； 　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释： 　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 考点一：一元二次方程的一般形式 【典例精讲】（2022秋•新城区校级月考）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+|m|﹣1＝0的常数项为0，则m为 　﹣1　． 【思路点拨】根据一元二次方程定义二次项系数不为0及常数为0列式即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得，， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【考点点拨】本题考查一元二次方程的定义及绝对值方程，解题关键是根据题意得到二次项系数不为0． 【变式训练1-1】（2022秋•丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为 　 　． 【变式训练1-2】（2021秋•辉县市校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0， （1）求m的值； （2）求方程的解． 【变式训练1-3】（2017秋•北流市期中）关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，求m的值． 考点二：解一元二次方程-直接开平方法 【典例精讲】（2023秋•浑源县月考）一元二次方程x2﹣3＝0的解为（　　） A．x1＝x2＝ B．x1＝，x2＝﹣ C．x1＝x2＝9 D．x1＝9，x2＝﹣9 【思路点拨】利用直接开平方法求解即可． 【规范解答】解：∵x2﹣3＝0， ∴x2＝3， 则x1＝，x2＝﹣， 故选：B． 【考点点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【变式训练2-1】（2022秋•番禺区校级期末）已知x1＝1是关于x的