专题22 椭圆及其标准方程6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

专题22 椭圆及其标准方程6种常见考法归类 1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注：（1）当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)只有同时满足两个焦点F1，F2在坐标轴上，线段F1F2的中点是坐标原点．这两个条件时，所得到的方程才是标准方程． 2、椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 注：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． 3、在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题 (1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆． 4、椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．　 (3)一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题. 5、椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上． (2)代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值． 6、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 7、椭圆标准方程的两种应用 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值或取值范围. （1）求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标. （2）已知方程求参数的值或取值范围时，需注意：对于方程＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆.若已知方程不是标准方程，需先进行转化. 8、利用待定系数法求椭圆的标准方程的思路 采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤为： 主要步骤可归纳为“先定位，再定量”． 需要注意的是：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 9、椭圆的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，这样可以减少运算量． 焦点三角形的常用公式： (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2 ＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 　　 10、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0. (2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． (3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学