江西省新余市实验学校2023-2024学年高二上学期数学作业每日1练（10月28日）

2023年10月28日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．直线过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 3．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 三、解答题 4．（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 5．如图，直三棱柱的体积为4，点，分别为，的中点，的面积为． (1)求点A到平面的距离； (2)，平面平面，求平面与平面所成角的余弦值． 6．已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若是上一点，且，求的面积. 高二11、12班 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 10月28参考答案： 1．B【详解】由直线的倾斜角的范围是，得直线的斜率存在时，或. 当时，，或，解得或. 当直线的斜率不存在时，符合题意综上，实数的取值范围是.故选：B 2．AC【详解】A：因为，所以本选项命题正确； B：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，所以直线与平面所成的角等于，因此本选项命题不正确； C：假设不是空间一个基底，所以有成立， 因为组是空间的一个基底，所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立， 所以也是空间的一个基底，因此本选项命题正确； D：因为只有当时，四点才共面，所以本选项命题不正确，故选：AC 3．AD【详解】由函数的图象可得，由，求得. 再根据五点法作图可得，即， 又，求得，∴函数，，是最值，故A成立； ，不等于零，故B不成立； 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，故C不成立； 当时，，，， 函数在上的图象如下，    由图可知，时，函数与直线有两个交点， 故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立. 故选：AD. 4．（1）证明见解析，；（2）. 【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定点，再验证满足题意；解法二：动直线转化为，利用，则关于的方程系数为，列出方程解得即可. （2）解法一：联立两直线求出交点，又与直线垂直的直线斜率，写出直线即可；解法二：利用垂直直线系，得直线方程为，再代入交点解得的值，即可得到答案；解法三：利用交点系得直线，又，得方程，解得的值，即可得到答案. 【详解】(1)证明：解法一：令，则直线方程为   ① 再令时，直线方程为   ② ①和②联立方程组，得， 将点代入动直线中，即故动直线恒过定点. 解法二：将动直线方程按降幂排列整理，得① 不论为何实数，①式恒为零， ∴ 有，解得， 故动直线恒过点． (2)解法一：联立方程，解得， 直线的斜率为，由，则直线的斜率为， 故直线的方程为. 解法二：设所求直线方程为， 将解法一中求得的交点代入上式可得， 故所求直线方程为. 解法三：设直线的方程为，即，又， ∴   ，解得，故直线的方程为. 5．【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，点为的中点，所以, 而直三棱柱的体积为4，所以三棱锥的体积为, 又的面积为，故三棱锥的体积 ， 解得，所以点A到平面的距离为. （2）取的中点F，连接，如图， 由题意知，故，所以 ， 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 由平面，故， 在直三棱柱中，平面，平面，可得， 又平面且为相交直线， 否则若，则F点在落在上，与不垂直，则与矛盾， 所以平面，平面,故, 所以两两垂直，以B为原点，以为轴, 建立如图空间直角坐标系， 由于平面，故点A到平面的距离即为，由（1）知， 故 , 因为平面，平面,所以, 由的面积为，则, 则, 则 , 设平面的法向量为 ，则 , 即 ，令，则，故； ，设平面的法向量为 ， 则,即， 令，则，可得， 故 ， 由原图可知平面与平面所成角为锐角， 故平面与平面所成角的余弦值为 . 6．【详解】（1）设动圆的半径为，因为圆与圆和圆均外切，所以，， 则， 根据双曲线的定义可知，的轨迹是以，为焦点的双曲线的一支. 设方程为，由，又， 所以，所以的方程为. （2）设，则. 因为.所以， 即，解得或（舍去）. 故的面积为：. 答案第1