专题09 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(苏科版）

专题09 模型构建专题：相似三角形中的基本六大模型模型全攻略 【考点导航】 目录 【类型一 （双）A字型相似基本模型】 1 【类型二 （双）8字型相似基本模型】 7 【类型三 母子型相似基本模型】 16 【类型四 手拉手型相似基本模型】 21 【类型五 K字型相似基本模型】 32 【类型六 三角形内接矩形基本模型】 37 【典型例题】 【类型一 （双）A字型相似基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式训练】 1．如图，在中，，，若，则等于（    ）    A．4.5 B．3 C．3.5 D．4 2．如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，，是边上的高，是线段上一点，过作的平行线交于，交的延长线于，当时，的长度为（    ）    A． B． C．1 D．2 4．如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 5．已知：在中，，，，，与交与点E．    (1)当时，求的长； (2)当周长与四边形的周长相等时，求的长度． 【类型二 （双）8字型相似基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为 ． 【变式训练】 1．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    4．如图，和都是的高，相交于F点，连接．    (1)求证：； (2)若点D是的中点，，则的长为__________． 4．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．    (1)求的值． (2)若， ①求证：． ②求证：． 5．如图1，矩形中，，，点是对角线上的一个动点点不与、重合，连接并延长交射线于点，    (1)当时，求的面积用含、的代数式表示） (2)若点为边的中点，点为线段的中点，连接、，求证、、三点共线； (3)如图2，当为何值时，与的面积之和最小． 【类型三 母子型相似基本模型】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 2.在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 3．如图，在中，是边上一点．    (1)当时， ①求证：； ②若，，求的长； (2)已知，若，求的长． 【类型四 手拉手型相似基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com] ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例题：【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别是边的中点，连接．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． 【观察发现】如图2，当时，_________． 【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点．四边形为矩形，连接．如图4，将矩形绕点A逆时针旋转．旋转角为α，连接．请探究矩形旋转过程中，与的数量关系； 【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_________．      【变式训练】 1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠B