专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题压轴题九种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(苏科版）

专题07 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题压轴题九种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 1 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 6 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 10 【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】 14 【考点五 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 15 【考点六 新定义型二次函数——孔像抛物线】 18 【考点七 新定义型二次函数——反碟长抛物线】 21 【考点八 新定义型二次函数——月牙线抛物线】 23 【考点九 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 28 【典型例题】 【考点一 新定义型二次函数——关联抛物线】 例题：（2023·黑龙江大庆·统考三模）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当MN=6时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【变式训练】 1．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； (2)若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【考点二 新定义型二次函数——友好同轴二次函数】 例题：（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________． (2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值． 【变式训练】 1．【信息提取】 新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”． 新知识：对于直线和．若，则直线与互相垂直；若直线与互相垂直，则． 【感知理解】 （1）若抛物线的“友好抛物线”为．则h，k的值分别是 ； （2）若抛物线与互为“友好抛物线”．则b与n的数量关系为 ，c与q的数量关系为 ． 【综合应用】 （3）如图，抛物线的顶点为E，的“友好抛物线”的顶点为F，过点O的直线与抛物线交于点A，B（点A在B的左侧），与抛物线交于点C，D（点C在D的左侧）．若四边形AFDE为菱形，求AB的长； 【考点三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： (1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． (2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： (3)已知抛物线． ①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）． 【考点四 新定义型二次函数——旋转函数】 例题：（2023·全国·九年级专题练习）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考并解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【考点五 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 例题：定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)请写出抛物线的顶点坐标 　 　；及其“同轴对称抛