第25章 锐角的三角比（压轴必刷30题5种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪教版）

第25章 锐角的三角比（压轴必刷30题5种题型专项训练） 一．解直角三角形（共15小题） 1．（2022•杨浦区三模）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为 　 　． 2．（2021秋•长宁区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则的值为 　 　． 3．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　 　． 4．（2020秋•金山区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于　 　． 5．（2023•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD． （1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值； （2）如果AD＝3，求的值； （3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长． 6．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD∥BC，∠ADB＝90°，cosA＝． 求：（1）DC的长； （2）如果点E为CD的中点，联结BE，求∠EBC的正切值． 7．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，cos∠ADC＝，tanB＝． （1）求AC和AB的长； （2）求sin∠BAD的值． 8．（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是边AB上一点，且tan∠BCD＝． （1）试求sinB的值； （2）试求△BCD的面积． 9．（2021秋•浦东新区期中）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝． （1）求边AC的长； （2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值． 10．（2020秋•松江区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°． 求：（1）△ABC的面积； （2）∠C的余弦值． 11．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E． （1）求tan∠ACE的值； （2）求AE：EB． 12．（2020秋•青浦区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinC＝，点D是BC上一点，且DC＝AC． （1）求BD的长； （2）求tan∠BAD． 13．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，点D在边AB上，AD：DB＝3：1，求cot∠DCB的值． 14．（2021秋•徐汇区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，，D是斜边AB上一点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交直线BC于点F． （1）当时，求线段BF的长； （2）当点F在边BC上时，设AD＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，及其定义域； （3）当时，求线段AD的长． 15．（2020秋•宝山区月考）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）． （1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； （2）在图1中，连接AP．当AD＝，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小． 二．解直角三角形的应用（共3小题） 16．（2021秋•虹口区月考）如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部距离地面1.2米．卸货时，车厢倾斜的角度θ＝60°，问此时车厢的最高点A距离地面多少米？（精确到1m） 17．（2020秋•虹口区校级期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由ON位置运动到底面CD垂直的OM位置时的示意图，已