第4章 图形的相似（压轴必刷30题3种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第4章 图形的相似（压轴必刷30题3种题型专项训练） 一．相似三角形的性质（共1小题） 1．（2022秋•新邵县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC的完美分割线； （2）如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 二．相似三角形的判定（共3小题） 2．（2022秋•电白区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B． （1）若AB＝10，求FD的长； （2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE． 3．（2022秋•沙坡头区期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，点E是边BC的中点，连接DE．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，△ABC与△CDE相似？写出所有的情况． 4．（2022秋•隆回县期中）如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N． （1）求证：AD＝BE； （2）求证：△ABF∽△ADB． 三．相似三角形的判定与性质（共26小题） 5．（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF． （1）求证：AE2＝EG•ED； （2）求证：BC2＝2DF•BF． 6．（2022秋•乐亭县期中）如图所示，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH相似的三角形，并证明； （3）若E是BC中点，BC＝2AB，AB＝4，求EM的长． 7．（2022秋•溆浦县校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q． （1）求证：△APQ∽△CDQ； （2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC． 8．（2022秋•蜀山区校级期中）△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，且有AF＝CF，过F点作FH⊥AC于点H． （1）求证：△ADE∽△CDB； （2）求证：AE＝2EF； （3）若FH＝，求BC的长． 9．（2022秋•城关区校级期中）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连结GD，BE相交于点Q． （1）求证：GD⊥BE； （2）连结DE，BG，若AB＝6，AE＝3，求DE2+BG2的值． 10．（2022秋•虹口区校级期中）如图，∠ABC＝45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BPA＝∠BPC＝135°． （1）求证：△CPB∽△BPA； （2）若AC⊥BC，试求的值． 11．（2022秋•定远县期中）如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE＝CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP＝∠ACB． （1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2时，求线段PE的长． 12．（2022秋•新市区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D． （1）求∠BDF的大小； （2）求CG的长． 13．（2022秋•凌海市期中）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G． （1）求证：GD•AB＝DF•BG； （2）联结CF，求证：∠CFB＝45°． 14．（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，Rt△ABC中，AB＝12cm，BC＝10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？