专题2.14 对称图形——圆章末十大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题2.14 对称图形-圆章末十大题型总结（拔尖篇） 【苏科版】 【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】 1 【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】 3 【题型3 垂径定理的实际应用】 4 【题型4 由点与圆的位置关系求求最值】 6 【题型5 由圆的对称性求最短路线问题】 7 【题型6 三角形的内切圆与内心】 9 【题型7 正多边形与圆】 10 【题型8 圆锥侧面积的相关计算】 11 【题型9 动点的运动轨迹长度计算】 12 【题型10 动态图形的扫过的面积的计算】 14 【题型1 切线的判定与性质进行计算与证明】 【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 【例1】（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【变式1-1】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接． (1)求证：是圆O的切线； (2)当，时，求线段的长． 【变式1-2】（2023秋·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BCOP交⊙O于C，PO交⊙O于D， （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径． 【变式1-3】（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在中，点H是直径上的一点，过H点作弦，点E是的中点，过点E作的平行线交延长线于点F，连接，交于点G． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）如图2，连接，若，则当k为何值时，线段？ 【题型2 圆周角定理有关的计算与证明】 【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【例2】（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）如图，已知：过上一点作两条弦、，且，，都不经过过作的垂线交于，直线，交于点，直线，交于点．    (1)证明：； (2)探索线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【变式2-1】（2023秋·湖北·九年级期末）已知内接于，的平分线交于点D，连接，． (1)如图①，当时，请直接写出线段，，之间满足的等量关系式：　 　； (2)如图②，当时，试探究线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【变式2-2】（2023秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，．    (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 【变式2-3】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角． (1)若，则 ； (2)过点D作于E，判断之间的数量关系并证明； (3)若，求的值． 【题型3 垂径定理的实际应用】 【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【例3】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是 ；②“图上”太阳升起的平均速度为 厘米/分． 【变式3-1】（2023秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m， FH=2.4m， 点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？    【变式3-2】（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（　　） A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米