第3章 圆的基本性质（压轴必刷30题9种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（浙教版）

第3章 圆的基本性质（压轴必刷30题9种题型专项训练） 一．垂径定理（共2小题） 1．（2022秋•南湖区校级期中）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长； （2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，DE保持不变； 【解答】解：（1）如图（1）， ∵OD⊥BC， ∴BD＝BC＝×6＝3， ∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3， ∴OD＝＝4， 即线段OD的长为4． （2）存在，DE保持不变． 理由：连接AB，如图（2）， ∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5， ∴AB＝＝5， ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DE＝AB＝， ∴DE保持不变． 【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键． 2．（2022秋•珠海校级期中）已知：如图，矩形ABCD中，点E、F分别在DC，AB边上，且点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB＝6，设BC＝x，AF＝y． （1）求证：∠CAB＝∠CEG； （2）①求y与x之间的函数关系式． ②x＝　3　时，点F是AB的中点； （3）当x为何值时，点F是的中点，以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由． 【分析】（1）连接EF，由于EG经过圆心E，且与弦CF垂直，由垂径定理知∠CEF＝2∠CEG，而圆周角∠CAF和圆心角∠CEG所对的弧正好相同，由圆周角定理知∠CEG＝2∠CAF，由此得证； （2）①设⊙O的半径为r，连接EA、EF；由于EA＝EF，那么E点在AF的垂直平分线上，因此AF＝2DE，即y＝2（6﹣r），所以只需求出r、x的关系式即可；Rt△ADE中，AD＝x，用r可表示出AE、DE的长，即可由勾股定理求得r、x的关系式，由此得解； ②当F是AB中点时，AF＝y＝3，将其代入①的函数关系式中，即可求得x的值； （3）当F是弧AC的中点时，EF垂直平分AC，可得AE＝EC，AF＝FC；易知∠AEF＝∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行线的内错角，等量代换后可得∠AEF＝∠AFE＝∠FAE，由此可证得△EAF是正三角形，由此可证得四边形AECF的四边都相等，即四边形AECF是菱形；此时∠CFB＝∠EAF＝60°，在Rt△CFB中，易知BF＝CF，而AF＝FC，那么BF即为AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的长，进而可得到BC（即x）的长． 【解答】解：（1）证明：连接EF（如图1） ∵点A、F、C在以点E为圆心，EC为半径的圆上， ∴EF＝EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF＝2∠CEG ∵∠CEF＝2∠CAB，∴∠CAB＝∠CEG；（3分） （2）（如图2） ①连接EF、EA．设⊙E的半径为r； 在Rt△ADE中，EA＝r，DE＝6﹣r，AD＝x， ∴x2+（6﹣r）2＝r2，r＝x2+3， ∵EF＝EA，∴AF＝2DE， 即y＝2（6﹣r）＝﹣x2+6，（6分） ②点F是AB的中点时，y＝3， 即﹣x2+6＝3，∴x＝；（8分） （3）（如图3）； 当x＝时，F是弧AC的中点．此时四边形AECF菱形；（9分） 理由如下： ∵点F是弧AC的中点，∴∠AEF＝∠CEF，AF＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AE＝EF， ∴AE＝AF＝CE＝CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形， ∴四边形AECF是菱形，且∠CEF＝60°， ∴∠BCF＝30°，∴BF＝CF＝AF＝AB＝2，BC＝．（12分） 【点评】此题主要考查了矩形的性质、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用能力． 二．垂径定理的应用（共1小题） 3．（2022秋•富阳区期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连接OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连接OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得