第三章 幂、指数与对数（知识清单+典型例题+提升训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第一册）

第三章 幂、指数与对数（知识清单+典型例题+提升训练） 【知识导图】 【知识清单】 考点1：幂与指数 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值． ②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0. 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 题型一：n次方根的概念问题 【例1】　(1)27的立方根是________． (2)已知x6＝2 019，则x＝________. (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． (1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3. (2)因为x6＝2 019，所以x＝±. (3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．] 【规律方法】n次方根的个数及符号的确定 1n的奇偶性决定了n次方根的个数； 2n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号. 【变式】已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①；②；③；④，其中无意义的有(　　) A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　 D．0个 【答案】A　 【解析】[①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5有意义；③中(－5)2n＋1<0，因此无意义；④中根指数为9，有意义．选A.] 题型二：利用根式的性质化简求值 【例2】　化简下列各式： (1)＋()5； (2)＋()6； (3). [解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. (3)原式＝|x＋2|＝ 【规律方法】正确区分与()n (1)()n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围； (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 【变式】若＝3a－1，求a的取值范围． [解]　∵＝＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥. 故a的取值范围为. 题型三：有限制条件的根式的运算 【例3】　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________. (2)若－3<x<3，求－的值． [思路点拨]　(1)由x<0，先计算|x|及，再化简． (2)结合－3<x<3，开方、化简，再求值． (1)－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x， ∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.] (2)[解]　－ ＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2. 当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ 【规律方法】带条件根式的化简 1有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简. 2有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负. 题型四：根式与分数指数幂的互化 【例4】．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）将化为有理数指数幂的形式为 ． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 【规律方法】根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 【变式1】（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）用有理数指数幂的形式表示（其中） . 【答案】 【分析】根据幂指数和根式之间的互化即可求解. 【详解】， 故答案为： 【变式】（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）化简 . 【答案