第三章 函数的概念与性质（知识清单）（13个考点梳理+典型例题+变式练习）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质（知识清单）（13个考点梳理+典型例题+变式练习） 【知识导图】 【知识清单】 考点1.函数的概念 函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 【例1】下列四个图象中，不是函数图象的是(　　) A　 B　　 C　 D B　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.] 【例2】　(1)下列各组函数是同一函数的是(　　) ①f(x)＝与g(x)＝x； ②f(x)＝x与g(x)＝； ③f(x)＝x0与g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②　　　 B．①③ C．③④ D．①④ (1)C　[①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数． ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数． 由上可知是同一函数的是③④. 故选C.] 【变式】下列各组函数中是相等函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.] 考点2.函数的三要素 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． ①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； ②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； ④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应． [解]　①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数． ②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数． ③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数． ④集合A不是数集，故不是函数．] 【例4】　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝2＋； (2)f(x)＝(x－1)0＋； (3)f(x)＝·； (4)f(x)＝－. [思路点拨]　要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时， 函数f(x)＝2＋有意义， 所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)函数有意义，当且仅当 解得x>－1且x≠1， 所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． (3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3， 所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1， 即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}． 【例5】　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))． (2)求g(f(x))． [思路点拨]　(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))． [解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝2×22＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)． g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝＝＝. 考点3.函数的三种表示法 【例6】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [解]　①列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000