第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单）（16个考点梳理+典型例题+变式练习）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单）（16个考点梳理+典型例题+变式练习） 【知识导图】 【知识清单】 考点1：不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 【例1】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. [思路点拨]　可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘以， 得＜. 又e＜0，∴＞. 利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【变式】已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc. 又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc， ∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc. 考点2：真分数、假分数的性质 【例2】设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【答案】C 【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系. 【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2， 由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3， 所以y1＞y2＞y3， 故选：C. 【变式】请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）． 【答案】 【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得． 【详解】克糖水中有克糖， 糖水的浓度为：； 克糖水中有克糖，若再添克糖， 则糖水的浓度为， 又糖水变甜了，说明浓度变大了， ，，，，. 故答案为：， 考点3：比较大小的方法 比较两实数大小基本方法: 一、差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔ a－b<0. 二、商值比较原理：设a、b∈，则＞1⇔a＞b， ＝1⇔ a＝b， <1⇔a<b. 三、介值比较法 介值比较法的理论依据是： 若 a > b , b > c , 则 a > c, 其中 b 是 a 与 c 的中介值． 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值 四、平方法 平方法的一般步骤：对 两式先平方，再比较大小． 两个实数大小比较的一般步骤 ①作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小. 注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性． 【例3】已知a，b，c满足：a、b、c∈R+，a2+b2＝c2，当n∈N，n＞2时，比较cn与an+bn的大小． 【解答】解：∵a、b、c∈R+，a2+b2＝c2， ∴+＝1． ∴∈（0，1），∈（0，1）， ∵y＝与y＝均为减函数， ∴当n＞2时，＜，＜； ∴当n＞2时，+＜+＝1， 即当n＞2时，an+bn＜cn． 【变式1】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝2＋. ∵2≥0，∴2＋≥＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 【变式2】比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0， ∴x2＋3>3x. (2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b