22.3 第1课时 相似三角形的性质（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（沪科版）

沪科版·九年级上册 数学 第二十二章 相似形 22.3 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质 旧知回顾 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比. 全等三角形是相似三角形，其相似比为1. 共五种，略. 导入新课 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？ 相似三角形性质定理1 问题1 解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB＝∠A' D' B'＝90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A' B' C' D' A B C D 结论：相似三角形对应高的比等于相似比． ∴ ＝ ＝k. 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 问题2 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 5 结论：相似三角形对应的中线的比也等于相似比． (1) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k. 求证： ＝k. 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， ＝ . 又AD，A′D′分别为对应边的中线， ∴ ＝ . ∴ △ABD∽△A′B′D′. A B C D E A' B' D' C' E' ∴ ＝ ＝ k . 结论：相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比． (2) 已知 ：两个三角形相似比为k，即 ＝ ＝ ＝k. 求证： ＝k. 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′. 又BE，B′E′分别为对应角的平方线. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C D E A' B' D' C' E' ∴ ∠ABE＝∠A′B′E′. ∴ ＝ ＝ k . 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 知识归纳 图中①②③分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？ ① 1 ② 2 ③ 3 ①与②的相似比＝______，①与②的周长比＝______； ①与③的相似比＝______，①与③的周长比＝______. 1 : 2 都相似 相似三角形性质定理2和定理3 问题3 1 : 2 1 : 3 1 : 3 结论： 相似三角形的周长比等于相似比． 9 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 思考：怎么证明这一结论呢？ 10 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比. 知识归纳 ①与②的相似比＝______，①与②的面积比＝______； ①与③的相似比＝______，①与③的面积比＝______. 1 : 2 1 : 4 1 : 3 1 : 9 图中①②③分别是边长为1、2、3的等边三角形，回答以下问题： 问题4 结论： 相似三角形的面积比等于相似比的平方． ① 1 ② 2 ③ 3 求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 思考：怎么证明这一结论呢？ A' B' C' A B C 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ k， ∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 . D D' 相似三角形性质定理3 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 知识归纳 两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：设较短的角平分线长为x cm， 解得x＝18. 较长的角平分线长为24 cm. 故这两条角平分线的长分别为18 cm