22.2 第5课时 直角三角形相似的判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（沪科版）

沪科版·九年级上册 数学 第二十二章 相似形 第5课时　直角三角形相似的判定 22.2 相似三角形的判定 旧知回顾 1．全等三角形的判定方法有哪些？ 2．我们学过的相似三角形的判定有哪些？ SSS SAS ASA AAS HL 平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似； 三边对应成比例两三角形相似； 两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似． 导入新课 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？对于直角三角形，类似于判定三角形全等的HL方法，我们能不能通过两边来判断两个三角形相似呢？ 观察与思考 导入新课 直角三角形相似的判定定理的证明 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°， = .求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 设 ＝ ＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′. 由勾股定理，得：BC＝ ， B′C′＝ ， ∴ = = = =K . 探究新知 ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似)． ∴ = = 探究新知 A B C 那么△ABC∽△A1B1C1. A1 B1 C1 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 几何语言 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. 如果 = =k， 知识归纳 又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°， 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10. 求证：△ABC∽△B′C′A′. 例1 证明：在Rt△ABC中， BC= =3 ∴ = = . ∴ = = . ∴ = . ∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′. 例题与练习 直角三角形相似的判定定理的应用 解：由勾股定理得：CD= = = , 分 = 或 = , 两种情况均能得到△ABC和△ACD相似. 如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ ，AD＝2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？ 探究新知 = 或 = 解得BC=2 或 ， ∴AB=3 或 3 探究新知 已知：如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB于点D. 例2 (1)求证：BC2＝BD·BA； (2)若AD＝ ，BC＝4，求AC、BD. 证明：(1)∵CD⊥BA， ∴∠BDC＝90°＝∠BCA， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴BC²=BD ∙ BA . ∴ = ， 例题与练习 (2)由(1)BC2＝BD·BA， 设BD＝x，则4²=x（x+ ） 解得x₁= ，x₂＝－5(舍). ∴AC＝3，BD＝ . ∴AB＝ ＋ ＝5， 由勾股定理AC＝ ＝ ＝3， 例题与练习 如图，△ABC中，∠CAB＝90°，CB的中垂线交BC于点E，交CA的延长线于点D，交AB于点F.求证：AE2＝EF·ED. 例3 证明：∵E是BC中点，AE是Rt△CAB斜边上的中线， ∵∠EAC＋∠EAF＝90°， ∴∠D＝∠EAF. ∴AE＝ BC＝EC， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠C＋∠D＝90°， ∵∠AEF＝∠DEA 例题与练习 ∴△AEF∽△DEA， ∴AE2＝EF·