21.6 综合与实践 获取最大利润（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（沪科版）

沪科版·九年级上册 数学 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.6 综合与实践 获取最大利润 日常生活中存在着许多与数学知识有关的问题． 比如在商品买卖的过程中，如果将商品定价过高，可能会导 致无人购买；如果商品定价过低，可能会导致无利可图．那 么如何定价才能使商场获得最大的利润呢？ 导入新课 导入新课 如何定价利润最大 一个制造商制造一种产品，它的成本可以分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、 建造厂房、购置设备、培训工人等费用，如果没有更换产品，我们将它看为常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用。 探究新知 例如，生产一种收音机的成本（单位：元）可以近似的表述为 其中C表示生产t台收音机的总成本， 当t＝0时， C成本＝120t＋1000 ① C成本＝120×0＋1000＝1000 1000元是固定成本，由此可知①式中120t表示可变成本. 探究新知 制造商出售产品得到的年总收入等于出售产品的年销售量 t 和产品的销售单价 x 的乘积，设 R 表示年总收入，则 R年总收入＝t · x ② 制造商的年利润是出售产品的年收入和生产这些产品的总成本之间的差额，通常设为 p 表示年利润 P利润＝R年总收入－C成本 ∴ P利润＝R－C＝t · x－C ③ 探究新知 当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路，一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降。假设某市场分析专家提供了下列数据： 销售单价 x /元 50 100 150 300 年销售量 t /件 5000 4000 3000 0 设生产t件该产品的成本为 C＝50t＋1000 问题1 探究新知 (1)在图中描出上述表格中各组数据对应的点； 销售单价 x /元 50 100 150 300 年销售量 t /件 5000 4000 3000 0 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O 探究新知 (2) 描出的这些点在一条直线吗？求 t 和 x 之间的函数关系式. 解：由右图可知，这些点在一条直线上，设函数的解析式为： t＝kx＋b 任意选取两点代入求 得：k＝－20, b＝6000 ∴t＝－20x＋6000 4000 1000 2000 3000 5000 50 100 150 200 250 300 x/元 t/件 O 探究新知 (3) 销售单价 x 和年销售量 t 各为多少时，年利润 P 最大？ ＝－20x²＋6000x－50t－1000 解：∵R年总收入＝t · x ∴R年总收入＝(－20x＋6000) · x ∴P利润＝R年总收入－C成本＝t · x－C ∴P利润＝(－20x＋6000) · x－(50t＋1000) ＝－20x²＋6000x－50(－20x＋6000)－1000 ＝－20x²＋7000x－301000 ∴P＝311500 元 ∴t＝－20x＋6000＝2500 由公式可得：当 x＝－ 时，即x＝175，P最大＝ 探究新知 解：由题意得：当40≤x≤50时， Q＝60(x－30)＝60x－1800， ∵ y＝60＞0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大＝50时，Q最大＝1200， 答：此时每月的总利润最多是1200元. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？ 例 例题与练习 (2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ 解：当50≤x≤70时，设y与x函数 关系式为y＝kx＋b, ∵线段过(50，60)和(70，20). ∴y＝－2x＋160 (50≤x≤70) 60 20 50 70 x/元 y/件 O 50k＋b＝60 70k＋b＝20 ∴ 解得： k＝－2 b＝160 例题与练习 ∴Q＝(x－30)y ＝(x－30)(－2x＋160) ＝－2x2＋220x－4800 ＝－2(x－55)2＋1250 (50≤x≤70) ∵a＝－