21.4 二次函数的应用（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（沪科版）

沪科版·九年级上册 数学 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数的应用(1) y＝－4(x2－20x＋102－102) ＝－4(x－10)2＋400 当x＝10时，y最大值＝400 旧知回顾 利用配方法求函数 y＝－4x2＋80x 的最大值． 导入新课 求二次函数的最大值（或最小值） (1) 当自变量x为全体实数时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值是多少？ (2) 当自变量x有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值如何确定？ 问题 当a＞0时，有 y最小值＝ ，此时x＝－ ； 当a＜0时，有 y最大值＝ ，此时x＝－ . 探究新知 求下列函数的最大值与最小值. (1) y＝x2＋3x－2 (－3≤x≤1) 解：y＝(x＋ )2－2－ y＝(x＋ )2－ ∵－3≤－ ≤1 ∴当x＝－ 时，y最小值＝－ ； 当x＝1时，y最大值＝1＋3－2＝2. x O y －3 1 x＝－ 例1 例题与练习 (2) y＝－ x2－2x＋1 (－3≤x≤1) 解：y＝－ (x＋5)2＋6 ∵－5＜－3 即x在对称轴的右侧. 函数的值随着x的增大而减小. ∴当x＝－3时，y最大值＝ ； 当x＝1时，y最小值＝－ . x O y －3 1 x＝－5 例题与练习 当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值可以根据以下步骤来确定： (1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. (2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. (3) 判断x的取值范围与对称轴的位置关系．根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值．然后根据x的值，求出函数的最值. 知识归纳 用二次函数解决图形面积最优值 如图，用长20米的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 例2 例题与练习 解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得 S＝x(20－2x) ＝－2x2＋20x ＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)． ∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米． 例题与练习 如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2. (1) 求y与x的函数关系式； (2) y是否有最大值？如果有， 请求出y的最大值． 例3 例题与练习 解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x. (2)由题意得：0＜30－3x≤10，即 ≤x＜10. 对称轴为x＝ ＝－ ＝5， ∵当x＞5时，y随x的增大而减小． ∴当x＝ m时面积最大， 最大面积为 m2. 例题与练习 二次函数解决几何面积最值问题的方法： (1) 求出函数解析式和自变量的取值范围； (2) 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； (3) 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 知识归纳 用二次函数解决拱桥类问题 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥．当水面宽为4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面下降1 m时，水面宽度为多少米？ 例4 例题与练习 解：建立如图所示的直角坐标，其中O点为拱顶，CD长为4 (m)，AB的长度即为所求的水面宽度. 设抛物线解析式为y＝ax2(a≠0)， 由题意知D坐标为(2，－2)， 代入y＝ax2，得－2＝4a，a＝－ ， ∴y＝－ x2，B点纵坐标为－3， 当y＝－3时，－ x2＝－3，解得x＝± ， ∴A(－ ，－3)，B( ，－3)，AB＝2 ， ∴当水面下降1米时，水面宽度为2 米． 例题与练习 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接．已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m， 主悬钢索最低点离桥面的高度 为0.5 m. 例5 例题与练习 15 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为 (0，0.5)， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点 (450，8