奇数和偶数（讲义）-六年级下册数学苏教版

奇数和偶数 学法探讨：我们都知道，任何一个自然数被2除，余数必为1或0，根据这一点，一切整数可分为两大类：奇数类和偶数类。凡是能被2整除的数叫做偶数，也叫双数；不能被2整除的数叫做奇数，也叫单数。任何偶数都可以表示成2n的形式；任何奇数都可以表示成2n+1的形式（这里n为整数）。 例题与方法： 【例1】99个连续自然数的和是奇数还是偶数？ 【分析】99个连续的自然数，我们并不知道它们分别是多少，也就无法具体地求出它们的和。但是我们可以思考99个连续自然数中包含有几个奇数、几个偶数。要分两种情况来思考，一是最小的数是奇数；二是最小的数是偶数。如果最小的一个数是奇数，那么一共有50个奇数，49个偶数。因为偶数个奇数的和是偶数，偶数加偶数的和为偶数，所以这种情况下结果是偶数。如果最小的一个数是偶数，那么一共有50个偶数，49个奇数。虽然50个偶数相加还是偶数，但49个奇数相加是奇数，偶数加奇数和是奇数，所以这种情况下结果是奇数。 【解答】99个连续自然数相加，和可能是奇数，也可能是偶数。 【例2】算式1×2+3×4+5×6+···+99×100的得数是奇数还是偶数？ 【分析】首先我们可以观察各个积是奇数还是偶数。因为每个积都是相邻两个自然数相乘，其中必有一个因数是偶数，所以每个积都是偶数。既然每个积都是偶数，那么偶数加偶数还是偶数，最后的和也必是偶数。 【解答】得数一定是偶数。 【例3】有一列数：1,2,5,13，······从第2个数起，每个数的3倍正好等于它左右两边的两个数的和，求第2006个数是奇数还是偶数。 【分析】我们可以先写出一些这样的数看看有什么规律。仔细观察这些书的奇偶性，可以发现规律：奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数······· 【解答】（2006-2）÷3=668 答：第2006个数是偶数。 【例4】41名同学参加智力竞赛，竞赛共20道题。评分方法是：基础分15分，答对一题得5分，不答得1分，答错一题倒扣1分。请问所以参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？ 【分析】先看满分的情况：共20题，每题5分，总分是5×20+15=115分，是奇数。再考虑每题不答加1分则从满分中扣去4分，4分是偶数，奇数减偶数得到的还是奇数，答错一题倒扣1分，则扣6分，6也是偶数，奇数-偶数等于奇数，所以不论什么情况，每人的得分都是奇数。班级总人数41人也是奇数，那么这41人总成绩就是奇数个奇数的和，结果还是奇数。 【解答】每人得分必为奇数，41个奇数之和仍为奇数。所以，所有参赛同学得分总和一定是奇数。 【例5】桌上有9只杯口全部向上的杯子，每次将其中的6只同时翻转，问能不能经过这样有限次数的翻转使杯口全部向下？为什么？ 【分析】可以拿杯子进行试验，要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次翻转。从奇偶性入手，使9只杯子口全部朝下，翻转的总次数为9个奇数的和，为奇数。但是，按照规定每次只能翻转6只杯子，无论经过多少次翻转，翻转的总次数只能是偶数次。因此无论经过多少次翻转，都不能使9只杯子杯口全部朝下。 【解答】因为要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次翻转，9个奇数相加还是奇数。而若干个6相加总是偶数，不能达成一致，所以无论经过多少次翻转，都不能使9只杯子口全部朝下。 【数学小故事】 陈景润一个家喻户晓的数学家，在攻克歌德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”。但有谁会想到，他的成就源于一个故事。 1937年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡。几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了邀请。由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课。 这天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28= 5+23，100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和。因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想。大数学家欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的。 它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉。……”陈景润瞪着眼睛，听得入神。 从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读。因此获得了“书呆子”的雅号。 兴趣是第一老师。正是这样的数学故事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟大的数学家。 练习 1.有20个连续自然数，第一个数是3，最后一个是奇数还是偶数？这20个自然数相加的和是奇数还是偶数呢？ 2.有一组数：1,2,3,5,8,13,21,34，····