第一章勾股定理2023-2024学年北师大版数学八年级上册

勾股定理 【知识框架】 【基础知识一】 1、勾股定理： 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ba， ，斜边为 c，则 222 cba  。 要点诠释：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理。我国古代把直角三角形中较短的直角边称 为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式 的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 22)( 2 144 cababSSS ABCDEFGH  ， ，化简可证； 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。 大正方形小正方形 SSS 4 ， 22 )( 2 14 bacab  ，化简得证； 方法三： ABEBCEADE SSSS  梯形 ， 2 2 1 2 12))(( 2 1 cabbaba  ，化简得证。 3、勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。当已知中没有 直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和 直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 {#{QQABQYSEggigAhAAAQgCAwWCCkOQkBGACIoGwAAMoAABAQFABAA=}#} 4、勾股定理的应用： ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边，在 ABC 中，  90ACB ，则 22 bac  ， 22 acb  ， 22 bca  ； ②证明三角形中的某些线段的平方关系； ③知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ④可运用勾股定理解决一些实际问题； ⑤作长为 n的线段。 勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度 2 ， 3，……的无理数 线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理 数概念的直观认识。 【基础知识二】 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 cba ，， 满足 222 cba  ，那么这个三角形是直角三角形，其中 c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形 的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 22 ba  与较长边的平方 2c 作比较，若它们相等时，是以 cba ，， 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中 cba ，， 及 222 cba  只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 cba ，， 满足 222 bca  ，那么以 cba ，， 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直 角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 222 cba  中， cba ，， 为正整数时，称 a， cb， 为一组勾股数。 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3， 4，5；6，8，10；5，12，13；7， 24， 25等。 ③用含字母的代数式表示 n组勾股数： 丢番图发现的：式子 nmnmmnnm  (2 2222 ，， ， nm， 为正整数 ) 毕达哥拉斯发现的： 12 n ， nn 22 2  ， 1(122 2  nnn ， n为正整数 ) 柏拉图发现的： 1(112 22  nnnn ，， ， n为正整数 ) 3、勾股定理逆定理的应用 1、勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。 运用勾股定理的逆定理的步骤： ①首先确定最大的边(如 c ) ②验证： 22 ba  与 2c 是否具有相等关系： 若 222 cba  ，则 ABC 是以 C 为 90 的直角三角形； {#{QQABQYSEggigAhAAAQgCAwWCCkOQkBGACIoGwAAMoAABAQFABAA=}#} 当 222 cba  时， AB