第4章 4 第4课时 黄金分割（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

第4课时　黄金分割 教师备课　素材示例 ●归纳导入　如图，学生以手中的标准五角星为操作材料，进行小组合作探究活动． (1)从图中找出相等的角、相等的线段． (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形． 小亮认为，＝，＝.你同意他的看法吗？ (3)黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果__＝__，那么称线段AB被点C黄金分割，其中点C叫做线段AB的__黄金分割点__，AC与AB的比叫做__黄金比__，近似数为__0.618__． (4)你能找出五角星图中有哪几个黄金分割点吗？ 【教学与建议】教学：利用五角星，动手操作及量一量活动，探究黄金分割的定义．建议：学生通过探究活动，亲历知识的形成过程． ●情景导入　生活中有很多优美的图画和建筑物，例如：古埃及胡夫金字塔，这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.“蒙娜丽莎的微笑”的魅力所在是画面中处处有黄金分割．为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚？为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋？为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适、美的感觉？它们都用到了黄金分割原理． 【教学与建议】教学：用这些来源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，在好奇的环境中产生探索黄金分割特征的兴趣．建议：可以让学生寻找身边的黄金分割图形，以便理解黄金分割的特征． 命题角度1　理解黄金分割的定义 要说明一个点是某线段的黄金分割点，可以证明这个点把原线段分成的两部分满足“较长比整体等于较短比较长”，也可证明这个点把原线段分成的长短两部分满足“较短比较长等于”． 【例1】(1)已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式成立的是(C) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC (2)已知点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为(D) A． B． C． D．或 命题角度2　利用黄金分割的性质解决实际问题 将现实中的问题转移到数学问题中，借助黄金分割的性质来解决相关计算问题． 【例2】(1)小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为(A) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm (2)电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20 m，则主持人应走到离A点至少__7.6__m处，如果他向B点再走__4.8__m，也处在比较得体的位置．(精确到0.1 m) 命题角度3　利用黄金矩形求边长 在黄金矩形中剪下最大的正方形后，剩下的矩形仍是黄金矩形，根据相似多边形的对应边成比例求解． 【例3】如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于(B) A．0.618 B． C． D．2 高效课堂　教学设计 1．知道黄金分割的定义，会找一条线段的黄金分割点． 2．会判断某一点是不是一条线段的黄金分割点． 3．能对黄金分割进行简单应用． ▲重点 找一条线段的黄金分割点． ▲难点 黄金分割的应用． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 展示课件： 神奇的金字塔建筑 美丽的大自然摄影 迷人的芭蕾舞 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？ ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】 如图，动手量一量，五角星图案中，线段AC，BC的长度，再计算与的值，你有什么发现？ 解：＝. 【探究2】 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点__C__叫做线段__AB__的黄金分割点，__AC__与__AB__的比叫做黄金比． 【探究3】一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比＝，所以一条线段有__两__个黄金分割点． ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　(教材P96例4)根据上图，计算黄金比． 【方法指导】黄金分割的定义． 解：由＝，得AC2＝AB·BC. 设AB＝1，AC＝x，则BC＝1－x. ∴x2＝1×(1－x)， 即x2＋x－1＝0.解这个方程，得x1＝，x2＝(不合题意，舍去).所以黄金比＝≈0.618. 例2　如何找到一条线段的黄金分割点？ 已知线段AB，按照如下方法画图： (1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB； (2)连接DA，在DA上截取DE＝DB； (3)在AB上截取AC＝AE，则点C就是线段AB的黄金分割点． 提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？ 【方法指导】设AB＝2，分别求出AC和BC的长，并计算和的值．