第4章 4 第3课时 相似三角形的判定定理3（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

第3课时　相似三角形的判定定理3 教师备课　素材示例 ●类比导入　问题1：三角形相似的判定方法有哪些？ (1)__两角分别相等的两个三角形相似__． (2)__两边成比例且夹角相等的两个三角形相似__． 问题2: 全等三角形的判定方法有哪几种？类比全等三角形的判定方法，想一想判定三角形相似还有没有其他方法呢？ 【教学与建议】教学：让学生利用已经学过的相似三角形的判定定理，用类比的思想去猜想其他的判定方法．建议：学生类比全等的判定方法：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，猜想“三边成比例的两个三角形相似”． ●悬念激趣　脑筋急转弯：用放大镜不能放大的东西是什么？(猜一数学图形) 提出问题：在放大镜下看到的三角形与原三角形相比，边长变化了吗？角度变化了吗？两个图形的形状改变了吗？ 【教学与建议】教学：利用脑筋急转弯，吸引学生的注意力，同时也展示了：两个相似三角形的三边成比例，两个相似三角形的三个角相等．建议：提问：三边成比例的两个三角形相似吗？ 命题角度1　利用三边成比例判定两个三角形相似 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似． 【例1】下列数据分别表示两个三角形的三边长，则可用来判定这两个三角形相似的是(C) A．3，2，4与6，8，12 B．2，4，5与4，9，12 C．1，，与5，， D．3，4，5或2.5，1，2 命题角度2　相似三角形的综合应用 判断两个三角形相似常用的方法：定义法和相似三角形的判定定理，解题时根据题意灵活选择，综合运用． 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4.线段AB的垂直平分线DF分别交边AB，AC和BC所在的直线于点D，E，F. (1)求线段BF的长； (2)求AE∶EC的值． 解：(1)过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB＝AC＝2，∴BH＝CH＝BC＝×4＝2. ∵DF垂直平分AB，∴BD＝AB＝，∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠BHA. 又∠B＝∠B，∴△FBD∽△ABH， ∴＝，即＝，∴BF＝5； (2)过点C作CG∥AB交DF于点G. ∵BF＝5，BC＝4，∴CF＝1. ∵CG∥BD，∴＝＝. ∵CG∥AD，∴＝＝＝5. 高效课堂　教学设计 1.经历三角形相似的探索过程，理解并掌握三角形相似的判定定理3. 2．会用三角形的判定定理3来判断、证明及计算． ▲重点 掌握相似三角形的判定定理3. ▲难点 判定定理的推导及运用． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】我们猜想的“三边成比例的两个三角形相似”对吗？ 做一做：请与同桌合作，分别画△ABC与△A′B′C′，使，和都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小．△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由． 【探究2】你能用文字语言和符号语言表述出判定三角形相似的第三种方法吗？ 文字语言：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：如图，在△ABC与△DEF中， ∵＝＝，∴△ABC∽△DEF. 归纳：相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 【探究3】 (1)如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ 　　 (2)一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 拓展提升：如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？ 归纳：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，看最短(长)边与最短(长)的比是否成比例． ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　(教材P94例3)如图，在△ABC和△ADE中，＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数． 【方法指导】三角形相似的判定定理3及其应用． 解：∵＝＝， ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC. 即∠BAD＝∠CAE. ∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°. 例2　如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1＋∠2＋∠3＝90°. 【方法指导】运用勾股定理分别求出BE，CE，DE的长度(用λ表示)，求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE，再借助三角形外角的性质即可解决问题． 解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理，得BE2＝λ2＋λ2，CE2＝(2λ)