第2章 3 第1课时 公式法（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

3　用公式法求解一元二次方程 第1课时　公式法 教师备课　素材示例 ●类比导入　(1)解下列一元二次方程： ①x2＋2x－4＝0; ②3x2－5x＋1＝0； ③3x2－15x＋10＝0; ④5x2＋4x－7＝0. (2)接着再改变上面每题的其中的一个系数，得到四个新的方程： ①3x2＋2x－4＝0; ②3x2－10x＋1＝0； ③3x2－15x－15＝0; ④5x2＋x－7＝0. 思考：新的四题与原题的解题过程会发生什么变化？ 观察讨论得到：用配方法解不同一元二次方程的过程中，相同之处是配方，不同之处是方程的根的情况及方程的根． 教师：既然过程是相同的，为什么会出现根的不同？方程的根与系数有关吗？有怎样的关系？如何进一步探究？我们这节课就去探究根与系数的关系． 【教学与建议】教学：让学生类比用配方法解题既存在着共性，也存在着不同的现象，猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：让学生分组求方程的根． ●复习导入　(1)用配方法解一元二次方程的方法和步骤： ①化1：把二次项系数化为1； ②移项：方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项； ③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④变形：方程转化为形如(x＋m)2＝n的形式； ⑤开方：方程两边开平方； ⑥求解：解一元一次方程； ⑦定解：写出原方程的解． (2)用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 系数化1，得__x2＋x＋＝0__， 移项，得__x2＋x＝－__， 配方，得__x2＋x＋＝－＋__， 即＝. 因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，得__x＋＝±__， 所以__x＝－±__， 即x1＝，x2＝. 当b2－4ac＜0时，方程无实数根． 【教学与建议】教学：以提问和练习的方式让学生回顾旧知，为推导公式法做准备．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表黑板练习． 命题角度1　利用公式法求解一元二次方程 用公式法求解一元二次方程需要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，然后代入b2－4ac判别根，最后根据计算结果选择运用求根公式计算或者确定方程无解． 【例1】用公式法解下列方程： (1)4x2－4x＋1＝0; (2)x2＋4x＋5＝0； (3)x2＋2x＝0; (4)2x2－3x－1＝0. 解：(1)x1＝x2＝； (2)方程无实数根； (3)x1＝0，x2＝－2； (4)x1＝，x2＝. 命题角度2　利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 ①b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数解；②b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数解；③b2－4ac＜0，方程没有实数解． 【例2】(1)一元二次方程3x2－4x＋2＝0的根的情况为(A) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 (2)关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0(k为实数)根的情况是__有两个不相等的实数根__． 命题角度3　根据方程解的情况求解字母系数的值或取值范围 利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式，确定字母系数的值或取值范围． 【例3】(1)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(D) A．m<2 B．m≤2 C．m<2且m≠1 D．m≤2且m≠1 (2)若关于x的一元二次方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k的值是__±1__． 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程求根公式的推导． 2．利用公式法解一元二次方程． 3．会用根的判别式判断一元二次方程根的情况及其应用． ▲重点 掌握求根公式并会用公式法熟练地求解一元二次方程． ▲难点 一元二次方程求根公式的推导． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 你能用配方法解下列方程吗？(多媒体出示) (1)2x2＋x－1＝0；　　(2)3x2＋4＝6x. 要求学生用配方法求解，并交流展示． 答案：(1)x1＝，x2＝－1；(2)原方程无解． ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】推导求根公式 1．你能利用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？请你试一试，并与同伴交流． 2．在解上面方程的过程中，你遇到了哪些问题？你是如何解决的？ 归纳：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：(多媒体出示) 一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝. 【探究2】认识求根公式 请同学们观察求根公式，完成以下探究问题，并与同伴交流． 1．说一说求根公式x＝(a≠0，b2－4ac≥0)的结构特征，它在什么条件下才可以使用？ 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠