第2章 2 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 教师备课　素材示例 ●类比导入　(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式． ①x2－2x＋__1__＝(x－__1__)2； ②x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； ③4x2＋__8x__＋4＝4(x＋__1__)2； ④2x2－10x＋____＝2. (2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别． ①x2＋6x＋8＝0；②5x2＋30x＋40＝0. 探讨：方程②应如何去解呢？ 【教学与建议】教学：类比二次项系数导入课题，学习用配方法求解一次项系数不为1的一元二次方程．建议：让学生找办法，化未知为已知，将它们整理成熟悉的方程． ●复习导入　(1)一元二次方程的解法有哪些：直接开平方法和配方法．(2)什么叫配方法，怎样配方．(教师提问) ①通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． ②配方的步骤：移项、方程的两边同时加上一次项系数一半的平方、配成完全平方式、直接开平方． (3)你会用配方法解2x2－x－1＝0这样的方程吗？ 【教学与建议】教学：以提问的方式让学生回答已学的知识，为本节课继续学习用配方法解一元二次方程起到承前启后的作用．建议：可以让学生自己表述，尽可能多地展示出自己的认识． 命题角度1　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项；③配方；④开平方求出方程的根． 【例1】用配方法解方程： (1)3x2－6x－8＝0; (2)x2＋3＝6x. 解：(1)x1＝，x2＝； (2)x1＝12＋2，x2＝12－2. 命题角度2　用配方法求字母或代数式的值 一元二次方程可转化成(x＋m)2＝0的形式，可求出m的值． 【例2】(1)已知a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，则a＋b＝__－1__． (2)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)配方后为(x－2)2＝d(d是常数)，则＝__－4__． 命题角度3　用配方法求最值或进行证明 【例3】(1)已知代数式x2－5x＋7，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 解：x2－5x＋7＝＋. ∵≥0， ∴＋>0. ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 当x＝时，这个代数式的值最小，最小值为. (2)试用配方的方法证明4x2－12x＋10的值恒大于0. 证明：4x2－12x＋10＝4x2－12x＋9－9＋10＝(2x－3)2＋1. ∵无论x取何值，总有(2x－3)2≥0， ∴(2x－3)2＋1>0. ∴4x2－12x＋10的值恒大于0. 高效课堂　教学设计 1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 2．能够熟练灵活地应用配方法解一元二次方程． ▲重点 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程． ▲难点 理解配方法． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 1．复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？ 步骤是：__一移项、二配方、三求解__． 2．请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别． ①x2＋6x＋8＝0； ②3x2＋18x＋24＝0. 探讨：方程②应如何去解呢？这就是我们今天要学习的内容，用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】(多媒体出示) 观察方程3x2＋8x－3＝0，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？ 先让学生回答这个方程与上面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示． 【探究2】用配方法解一元二次方程的步骤． 老师：下面请大家仔细观察教材P38例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下． 归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下： (1)化二次项系数为1； (2)移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式； (4)开平方； (5)解——方程的解为x＝－m±. ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　(教材P38例2)解方程：3x2＋8x－3＝0. 【方法指导】用配方法解方程． 解：两边同除以3，得x2＋x－1＝0， 配方，得x2＋x＋－－1＝0. － ＝0. 移项，得＝. 两边开平方，得x＋＝±， 即x＋＝，或x＋＝－， 所以x1＝，x2＝－3. 例2　如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花