第2章 2 第1课时 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

2　用配方法求解一元二次方程 第1课时　用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 教师备课　素材示例 ●情景导入　在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决．例如：要使一块长方形场地的长比宽多4 m，并且面积为12 m2，则场地的长和宽应各是多少米？ 【教学与建议】教学：让学生感受到“生活中处处有数学”，从而激发学生的求知欲．建议：列出方程后用列表法求方程的根，发现工作量大，从而引入课题． ●复习导入　(1)课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？ (a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__　　(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__ (2)填空：x2＋__8x__＋16＝(x＋4)2，x2＋bx＋＝. (3)思考：你会解一元二次方程x2＋8x＋16＝0吗？ 【教学与建议】教学：利用验证完全平方公式常用的图形，引出配方的依据．建议：可以让学生自己表述，其他学生互相补充． 命题角度1　直接开平方法解一元二次方程 方程是x2＝p的形式，那么x＝±；方程是(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么nx＋m＝±. 【例1】(1)关于x的一元二次方程x2－9＝0的解是(C) A．x＝3 B．x＝－3 C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝9，x2＝－9 (2)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，那么另一个一元一次方程是__x＋6＝－4__． 命题角度2　配方法解二次项系数是1的一元二次方程 当一元二次方程的二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，将其配成完全平方式，再利用直接开平方法解方程． 【例2】(1)用配方法解一元二次方程x2－4x＝－1时，此方程可变形为(D) A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5 C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3 (2)用配方法解方程： ①x2＋2x－4＝0; ②x2－3x＝. 解：①x1＝－1＋，x2＝－1－； ②x1＝＋，x2＝－. 命题角度3　运用配方法求二次项系数为1的二次三项式的最小值 运用配方法把一个二次项系数为1的二次三项式化为一个完全平方式与一个常数之和的形式，然后可以求得这个二次三项式的最小值． 【例3】(1)对于任意实数x，代数式x2－2x＋3的值一定是(B) A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 (2)将x2－6x－3进行配方变形后，可得该多项式的最小值为__－12__． 高效课堂　教学设计 1．理解配方的意义． 2．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程． ▲重点 运用配方法解一元二次方程． ▲难点 了解并掌握用配方法求解一元二次方程． ◆活动1　创设情境　导入新课(课件) 1．课件出示，下面两个图形各验证了什么公式呢？与同伴交流一下． 　 2．在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2＋12x－15＝0，你能求出距离x(m)的精确解吗？你认为解这个方程的困难在哪里？ ◆活动2　实践探究　交流新知 【探究1】用直接开平方法解一元二次方程 课件出示做一做： 填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答) x2＋12x＋__36__＝(x＋6)2； x2－6x＋__9__＝(x－3)2； x2＋8x＋__16__＝(x＋__4__)2； x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2. 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 解下列方程： (1)x2－16＝0；　　　(2)3x2－27＝0； (3)(2y－3)2＝16. 解：(1)x＝__±4__； (2)两边同除以3得：x2＝__9__，x＝__±3__； (3)根据平方根定义得2y－3＝__±4__，所以y1＝__－__，y2＝____． 【探究2】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 解方程：x2＋12x－15＝0. 把常数项移到方程的右边，得x2＋12x＝15. 两边都加62，得x2＋12x＋__62__＝15＋__62__， 即(　x＋6　)2＝51， 两边开平方，得x＋6＝±，即x＋6＝或x＋6＝－. ∴x1＝__－6__，x2＝__－－6__． 归纳：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 解题步骤：一移项，二配方，三求解． ◆活动3　开放训练　应用举例 例1　(教材P37例1)解方程：x2＋8x－9＝0. 【方法指导】先配成完全平方公式，再求出一元二次方程的根． 解：把常数项移到方程右边，得x2＋8x＝9. 两边都加42，得， x2＋8x＋42＝9＋42. 即(x＋4)2＝25. 两边开平方，得x＋4＝±5， 即x＋4＝5，或x＋4＝－5. ∴x1＝1，x2＝－9. 例2　x2－5x