第2章 1 认识一元二次方程（新教案）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 教师备课　素材示例 ●情景导入　根据题意列出方程： 如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m．若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度． 【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边的方程实例，以便理解等量关系． ●归纳导入　如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽80 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是4 800 cm2，那么铁皮各角应切去边长为多少的正方形？ 分析：设各角应切去边长为x cm的正方形，则可表示无盖方盒的长是(100－2x)cm，宽是(80－2x)cm.根据题意可得方程：(100－2x)(80－2x)＝4 800.整理，得x2－90x＋800＝0. 【归纳】只含有__一个未知数x__的__整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 【教学与建议】教学：通过图形的变化感受等量关系的确定，归纳出一元二次方程的定义．建议：一元二次方程定义三个关键点：①只含有一个未知数；②整式方程；③未知数的最高次数是2次． 命题角度1　判断一元二次方程 一元二次方程的定义：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③整式方程． 【例1】(1)下列方程中一定是一元二次方程的是(C) A．ax2＋bx＋c＝0 B．y2－x＝1 C．x2－1＝0 D．＋x2＝1 (2)下列方程：①3x2＝x－1；②＋x2＝4；③＝1；④(2x－1)(x－2)＝2x2－1；⑤3x2＝2x(x－1).其中是一元二次方程的有__①⑤__．(填序号) 命题角度2　辨识一元二次方程的各项及其系数 先把方程化为一般形式，再确定二次项及其系数、一次项及其系数、常数项． 【例2】(1)写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． ①3x2－2x＋1＝0；②5x(x－2)＝4x2－3x. 解：①依次是3x2，3，－2x，－2，1；②依次是x2，1，－7x，－7，0. (2)将方程2(t－2)＝(t＋1)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 解：一般形式为t2＋5＝0，二次项为t2，二次项系数为1，一次项为0，一次项系数为0，常数项为5. 命题角度3　根据一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围 根据一元二次方程中二次项系数不为零，未知数的最高次数是2，求待定字母的值或取值范围． 【例3】(1)若关于x的方程(a－2)xa2－2－2x－5＝0是一元二次方程，则(D) A．a＝ B．a＝± C．a＝2 D．a＝－2 (2)当实数m满足条件__m≠－4__时，(m＋4)x2－mx＋1＝0是关于x的一元二次方程． 命题角度4　一元二次方程的应用问题 找准等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题． 【例4】(1)今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40 m，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500 m2.设原来绿地的长边为x m，则可列方程为(A) A．x2－40x＝500 B．x2＋40x＝500 C．(x－40)2＝500 D．x2－1 600＝500 (2)已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为x，则依题意可得到的方程是__(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝371__． 命题角度5　一元二次方程的根 这类题目一般先把方程的根代入方程再求字母或代数式的值． 【例5】(1)若关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有一个根为2，则k的值为(B) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)若m是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则6m2－9m＋2 023＝__2__038__． 命题角度6　一元二次方程根的估算 先把方程化为一般形式，方程的解夹在方程左边的代数式的值大于0和小于0这两个未知数的值中间． 【例6】(1)根据下列表格的对应值判断方程2x2－x－2＝0的一个解x的范围是(D) x 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2－x－2 －0.68 －0.32 0.08 0.52 　　A．1.1<x<1.2 B．1.3<x<1.4 C．1<x<1.2 D．1.2<x<1.3 (2)填表并回答问题： x －2 －1 0 1 2 3 4 x2－5x＋6 20 12 6 2 0 0 2 x2－4x＋2 14