4.6 利用相似三角形测高（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高 情景导入 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．泰勒斯年轻时是一名商人，到过不少东方国家．一年春天，泰勒斯来到埃及，埃及法老对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的． 你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 实践探究 操作方法：一名学生直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长．如图． 探究1：利用阳光下的影子 图2 图1 4 把太阳的光线看成是平行的． ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB， ∴＝，即CD＝，代入测量数据即可求出旗杆CD的高度． 图2 探究2：利用标杆 操作方法：如图3，选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上，测出此时他的脚与旗杆底部，以及与标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 图3 A B F D N C M E 图4 如图4，过眼睛所在点A作旗杆CD的垂线交旗杆CD于N，交标杆EF于M. 可得△AME∽△ANC = A B F D N C M E 图4 CN = = = ∴CD =CN+ND= +AB 固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度． 图5 操作方法：如图5，选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子， 探究3：利用镜子的反射 入射角＝反射角． ∵入射角＝反射角， ∴∠AEB＝∠CED. ∵人、旗杆都垂直于地面， 图5 ∴∠B＝∠D＝90°，∴△AEB∽△CED， ∴＝ ，∴CD＝.因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 应用举例 如图，已知高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度． 方法指导：利用相似三角形的性质． 解：易得△ABC∽△A′B′C′， ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得BC＝16. 答：该建筑物的高度是16 m. 例1 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度． 方法指导：CD∥AB,可得△CGE∽△AHE,有 ＝ ，求出AH，旗杆AB＝AH＋HB＝AH＋EF. 例2 解：由已知CG∥AH， ∴△CGE∽△AHE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AH＝11.9， ∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m). 如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该建筑物的高度是多少米？ 方法指导：借助物理学知识：入射角等于反射角，然后利用相似三角形的知识求解． 例3 A B P D C F 解：由题意，得∠APB＝∠CPD. 又∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°. ∴△ABP∽△CDP. ∴ ＝ .即 ＝ ， ∴CD＝8. 答：该建筑物的高度是8. A B P D C F 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高． 例4 15 分析：本题所叙述的内容可以画出如上图那样的几何图形，即DF＝60厘米＝0.6米，GF＝12厘米＝0.12米，CE＝30米，求BC. 由于△ADF∽△AEC， 又△AGF∽△ABC， 从而可以求出BC的长． ∵AE⊥EC，DF∥EC， ∴∠ADF＝∠AEC，∠DAF＝∠EAC