4.4 第4课时 黄金分割（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 情景导入 神奇的金字塔 美丽的大自然 迷人的芭蕾舞 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、大自然摄影、芭蕾舞，这些图形的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？ 实践探究 1．如图，动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，再计算 与 的值，你有什么发现？ 探究1 解： ＝ 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝ ，那么称线段AB被点C黄金分割，点______叫做线段_______的黄金分割点，_______与_______的比叫做黄金比． 探究2 C AB AC AB 5 探究3 一条线段有几个黄金分割点，黄金分割时，黄金比 ＝ ，所以一条线段有_____个黄金分割点． 2 A B 点1 点2 应用举例 例1 如图，计算黄金比． 解：由 = ，得AC2= AB·BC. 设AB = 1，AC = x，则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ×（1 - x）. 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程得：x1= ，x2= （不合题意，舍去） 黄金比 = ≈ 0.618. A B C 如何找到一条线段的黄金分割点？ 已知线段AB，按照如下方法画图： (1)过B作BD⊥AB使BD＝ AB； (2)连接AD，在DA上截取DE＝DB； (3)在AB上截取AC＝AE，则点C即为线段AB的黄金分割点． 提出问题：为什么点C为线段AB的黄金分割点？ 例2 A B D E C 解：AB＝2，则BD＝DE＝ AB＝1. ∴AD＝ ＝ ，∴AC＝AE＝AD－DE＝ －1， ∴BC＝AB－AC＝2－( －1)＝3－ ， ∴AC2＝( －1)2＝6－2 ，AB·BC＝2×(3－ )＝6－2 . ∴AC2＝AB·BC，即 ＝ . ∴点C是线段AB的黄金分割点． A B D E C 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 方法指导：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比，此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度． 例3 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 ，解得x = 0.96. 设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美. 练一练 1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式成立的是 (　　) A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC C A B C 2．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是 (　　) A 3．已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC : AB为(　　) D 1．点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 ＝ ，那么下列说法错误的是 (　 　)A．线段AB被点C黄金分割 B．点C叫做AB的黄金分割点C．AC与AB的比叫做黄金比 D．AC＝ BC 2．小明同学发现自己一本书的宽与长的比为黄金比．已知这本书的长为10 cm，则它的宽约为 (　 　)A．6.18 cm B．6.80 cm C．16.18 cm D．3.82 cm 随堂练习 D A 3．如图，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则α＝______． 4．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，则AC的长约为______cm.（结果精确到0.1 cm） 135° 6.2 5．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到点F，