4.4 第3课时 相似三角形的判定定理3（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件 第3课时　相似三角形的判定定理3 如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 情景导入 可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ A B C A′ B′ C′ 分别画△ABC 和△A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？△ABC 与△A′B′C′相似吗？ A B C C′ B′ A′ 实践探究 探究1：三边成比例的两个三角形相似 思考 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，所以△ABC∽△A′B′C′. 猜想：三边成比例的两个三角形相似. A B C C′ B′ A′ ∴ C′ B′ A′ 证明：在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC. B C A D E 又 ，AD=A′B′， ∴ ， . 证一证 归纳总结 三角形相似的判定定理3： 三边成比例的两个三角形相似． 几何语言： 如图，在△ABC与△DEF中， ∵ ＝ ＝ ， ∴△ABC∽△DEF. B A C D F E 探究2 (1)如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？ A B C 7 10 5 D E F 5 6 2.5 (1) A B C 6 4 7 E D F 3 2 3.5 (2) (2)一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，10 cm，12 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ ① 将三角形的边按大小顺序排列： 6 cm， 7.5 cm，9 cm 8 cm， 10 cm，12 cm ② 分别计算它们对应边的比： ③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例： ，这两个三角形相似 如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？ A B C A′ B′ C′ 假设每一小格的边长为1， 拓展提升 所以△ABC与△A′B′C′相似. 4 8 归纳总结 已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，看最短(长)边与最短(长)的比是否成比例． ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC =∠DAE，∠BAC－∠DAC ＝∠DAE－∠DAC，即 ∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°. 如图，在△ABC 和△ADE 中， ∠BAD=20°，求∠CAE的度数. A B C D E 解：∵ 应用举例 例1 如图为三个并列的边长相同的正方形，试说明：∠1＋∠2＋∠3＝90°. 方法指导：运用勾股定理分别求出BE，CE，DE的长度(用λ表示)，求出△BEC与△BDE的三边之比，证明△BEC∽△BDE，再借助三角形外角的性质即可解决问题． A B C D E F G H 例2 解：设每个小正方形的边长为λ，由勾股定理，得BE2＝λ2＋λ2，CE2＝(2λ)2＋λ2，DE2＝(3λ)2＋λ2， ∴BE＝ λ，CE＝ λ，DE＝ λ， ∴ ＝ ＝ ， 同理可求： ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ＝ ，∴△BEC∽△BDE， ∴∠2＝∠BED. ∵∠1＝∠BED＋∠3，且∠1＝45°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝90°. A B C D E F G H 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′= 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－ 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2. ∴△A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相