4.4 第1课时 相似三角形的定义及其判定定理1（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件 第1课时　相似三角形的定义及其判定定理1 问题1：相似多边形的定义是什么？ 问题2：你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗？ 情景导入 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形． 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 问题3：相似三角形的定义既可以作为判定又可以作为性质，用几何语言如何表示？ 如图，(1)在△ABC和△DEF中， ∵∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F, ＝ ＝ ， ∴____________________； (2)在△ABC和△DEF中， ∵△ABC∽△DEF ∴___________________________________________________ △ABC∽△DEF ∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F, ＝ ＝ 实践探究 探究1：动手操作、探索条件 问题1：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？ 分组进行如下操作：分别画出一个三角形，使得其中一个角等于∠α，裁剪下来对比是否相似． α α 问题2：两个人合作，分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，思考： (1)此时，∠C与∠C′相等吗？ (2)三边的比 ， ， 相等吗？ (3)这样的两个三角形相似吗？ 改变∠α，∠β的大小，再试一试． α B C A β A′ B′ C′ α β 探究2：三角形相似的判定定理 根据上述问题2，可以得出如下结论： (1) 这样的两个三角形不一定全等； (2) 两个三角形三个角都对应相等； (3) 通过度量后计算，得到三边对应成比例； (4) 通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似． α B C A β A′ B′ C′ α β 证明：在△ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上，截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE // BC，交 AC 于点 E， 则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B. ∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′. 又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′， ∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. D E 试证明△A′B′C′∽△ABC. C A A' B B' C' C 猜想三角形的判定定理： 两角对应相等，两三角形相似． 归纳总结 三角形相似的判定定理1： 两角分别相等的两个三角形相似． 几何语言： 如图，在△ABC 和△DEF 中， ∵∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴△ABC∽△DEF． 注意：表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 应用举例 如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7, AD=5, DE=10, 求BC的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ ∴BC=14. B A D E C 例1 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证： D C A B E F 例2 方法指导：可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个对应的三角形相似可以证明这个结论． 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°， ∠AFE =∠BFD (对顶角相等). ∴ △FEA∽△FDB， ∴ D C A B E F 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE． 例3 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC,∠DAE= ∠3+ ∠DAC,∠1=∠3, ∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ， ∠E=180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE. A B C D E 1 1 3 2 O ∴ 解：∵ ED⊥AB， ∴∠EDA=90 ° . 又∠C=90 °，