4.3 相似多边形（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.3 相似多边形 情景导入 观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？ (1) (2) (3) 实践探究 探究1：相似多边形的概念和性质 1．在这两个多边形中，是否有相等的内角？ 夹相等内角的两边是否成比例？ A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 归纳总结 相似多边形的定义： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 2．相似用“∽”表示，读作“相似于”．例如在图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 F1 3．相似多边形对应边的比叫做相似比．例如，五边形ABCDE∽五边形A1B2C1D1E1，对应边的比 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，因此五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为k1＝ ，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比为k2＝ . 讨论：下面每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1)正三角形ABC与正三角形DEF (2)正方形ABCD与正方形EFGH 解：(1)由于正三角形每个内角都等于60°，所以∠A＝∠D＝60°，∠B＝∠E＝60°，∠C＝∠F＝60°；由于正三角形三边相等，所以 (2)由于正方形的每个角都是直角，所以∠A＝∠E＝90°，∠B＝∠F＝90°，∠C＝∠G＝90°，∠D＝∠H＝90°；由于正方形四边相等，所以 归纳总结 相似多边形的特征： 相似多边形的对应边成比例，对应角相等. 探究2：相似多边形的判定 1．想一想： (1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ (2)任意两个菱形相似吗？ 2．观察下面两组图形，提出问题： 图①中的两个图形相似吗？为什么？ 图②中的两个图形呢？ 如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？ 1 1 图① 正方形 1 1 0.8 图② 正方形 归纳总结 相似多边形必须同时具备两点： 对应角相等、对应边成比例. 应用举例 一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 方法指导：对应边成比例的两个矩形相似． 例1 解：不相似．理由如下： 内边缘矩形长3 m，宽1.5 m， 外边缘所成的矩形长为3＋0.075×2＝3.15(m)， 宽为1.5＋0.075×2＝1.65(m). ∴边框的内外边缘所成的矩形的长之比为 ＝ ， 宽之比为 ＝ . ∵ ≠ ， ∴边框的内外边缘所成的矩形不相似． 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1＝_____，AD＝_____． 方法指导：根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得． 解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， 则∠1＝∠B＝70°， ＝ ，即 ＝ ， 解得AD＝28. 例2 A B C D 24 2 80° 70° A′ B′ C′ D′ 18 21 80° 1 70° 28 方法指导：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其他边的长，就可求得周长． 设四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，且A与A1、B与B1、C与C1、D与D1是对应点，已知AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，求四边形A1B1C1D1的周长． 例3 解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形， 又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8， ∴B1C1＝12，C1D1＝12，D1A1＝6， ∴四边形A1B1C1D1的周长＝8＋12＋12＋6＝38. 1．如果六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′，∠B＝75°，则∠B′的度数是 (　 　)A．15° B．25° C．75° D．105° 2．如果一个矩形对折后所得到的矩形与原矩形相似，则此矩形的长边长与短边长的比是 ( 　　) A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. : 1