4.2 平行线分线段成比例（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第四章 图形的相似 4.2 平行线分线段成比例 情景导入 梯子是我们生活中常见的工具，其示意图如图所示，经测量，AB＝BC＝CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？ A B C D A1 B1 C1 D1 实践探究 探究1:平行线分线段成比例 A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 (1)在图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3. 4 问题1：你能求出线段A1A2，A2A3，A1A3，B1B2，B2B3，B1B3的长度吗？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 三组比值相等． A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 问题2：计算 与 ， 与 ， 与 的值，你有什么发现？ (2)如果改变平行线的位置，如图所示.问题1：将l2向下平移到如图的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，上面问题2发现的结论还成立吗？请你试着算一算．如果将l2平移到其他位置呢？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 问题2：如果没有方格纸做背景，在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ A B C D E F b c a 归纳总结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 几何语言： 如图，∵a∥b∥ c ， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， A B C D E F b c a 练一练 1．平行线等分线段：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也______． 相等 2．平分线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________． 成比例 3．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________成比例． 对应线段 探究2:平行线分线段成比例的推论 如果改变被截直线的位置，这些成比例线段还成立吗？ 如图①，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3(如图②)，图②中有哪些成比例线段？ 图① m n A1 A2 A3 B1 B2 B3 a b c 图② m A1 A2 A3 B1 B2 B3 a b c n C2 C3 图②中的成比例线段有： ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， 问题1：上面三组成比例线段你是如何得到的？ 问题2：这些成比例线段来自什么图形？如果把这个图形单独拿出来，这些成比例线段还成立吗？ 图② m A1 A2 A3 B1 B2 B3 a b c n C2 C3 归纳总结 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 几何语言： 如图，∵DE∥ BC， ∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， A B C D E 应用举例 例1 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC . （1）如果AE = 7, EB=5，FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ （2）如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那么FC的长是多少？ A B C E F 解： A B C E F 如图，在△ABC中，若BD : DC＝CE : EA＝2 : 1，AD和BE交于F，则AF : FD是多少？ 方法指导：先利用BD : DC＝2 : 1作辅助线DH∥BE，这个条件再利用平行线分线段成比例及推论解决问题． 例2 A B C D F E H 解：过点D作DH∥BE交AC于H， ∴ ＝ ＝2，∴EH＝ CE. ∵BD : DC＝CE : EA＝2 : 1， ∴AE＝ CE＝ EH， ∴ ＝ ＝4(3)， 即AF : FD＝3 : 4. A B C D F E H 1．已知：如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF为 (