2.5 一元二次方程的根与系数的关系（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第二章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 复习导入 数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一元二次方程的解法，回顾一元二次方程的解法一共有几种？ 1．一元二次方程的解法： (1) 配方法； (2) 直接开平方法； (3) 公式法； (4) 因式分解法． 2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．(1) x2－2x－3＝0；　　 (2) x2＋4x＋3＝0；(3) x2－5x－6＝0； (4) x2＋7x＋12＝0. 解：(1) (x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1； (2) (x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1； (3) (x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1； (4) (x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4． 3．根据方程的根的情况，完成下列问题．(1)x2－2x－3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(3)x2－5x－6＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___． 3 －1 2 －3 －1 －3 －4 3 6 －1 5 －6 －3 －4 －7 12 你发现了什么规律？ 1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 一元二次方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2＋3x－4＝0 x2－2x－5＝0 2x2－3x＋1＝0 6x2＋x－2＝0 1 1 2 －4 －3 －4 －5 实践探究 2.在前面学过利用公式法求解一元二次方程，对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求根公式是 能得出以下结果： 证一证： 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1、 x2， 那么 ， 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0 应用举例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1) x2 + 7x + 6 = 0； (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 例1 方法指导：利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和、两根之积时，要先利用根的判别式b2－4ac判断方程根的情况． 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. (1) x2 + 7x + 6 = 0; (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值． 例2 方法指导：(1)由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； (2)根据根与系数的关系，可得出x1＋x2，x1x2的值，结合已知条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤ ； (2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1. ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0， ∴2×(－3)＋m－1＋10＝0. ∴m＝－3. 若关于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两个根互为倒数，则k＝_____． 例3 方法指导：应用根与系数关系时，注意还要考虑根的