2.2 第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第二章 一元二次方程 2.1用配方法求解一元二次方程 第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 2 情景导入 1．复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？ 2．比较下列两个一元二次方程的联系与区别． ① x2＋6x＋8＝0； ② 3x2＋18x＋24＝0. 探讨：方程②应如何去解呢？ 一移项、二配方、三求解． 探究：用配方法解一元二次方程的步骤 解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, (x + )2 - =0. 实践探究 移项,得 x + =± , 即 x + = 或 x + = － . 所以 x1= , x2 = －3 . 归纳总结 用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括如下： (1)化二次项系数为1； (2)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式； (4)开平方； (5)解：方程的解为x＝－m± . 完成下面的填空： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x2－6x＋1＝0为例) 练一练 ①系数化1：把二次项_____化为1，得______________； ②移项：将常数项移到右边，得x2－3x＝ ； 系数 ③配方：两边同时加上________________________，得： ．再将左边化为完全平方形式，得：__________； ④开平方：当方程右边为正数时，两边开_____，得： (注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)； ⑤解一次方程：得x＝ ，∴x1＝ ，x2＝______． 一次项系数的一半的平方 平方 8 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. 应用举例 例1 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的 ，求花砖路面的宽． 例2 【方法指导】若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x) m及(24－2x) m，根据等量关系：矩形草地的面积＝ ×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解． 解：设花砖路面的宽为x m. 根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝ ×48×24. 整理，得x2－36x＝－128. 配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2， 即(x－18)2＝196. 两边开平方，得x－18＝±14. 即x－18＝14，或x－18＝－14. 所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4. 故花砖路面的宽为4 m. 例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 例4 随堂练习 1．方程3x2－1＝2x 的两个根是_______________． 2．方程2x2－4x＋8＝0的解是____________． 无实数解 3．用配方法解方程：(1)－ x2＋ x－ ＝0； (2)3x