2.1 认识一元二次方程（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 情景导入 一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120. 所列方程是否为一元一次方程？ 实践探究 一元二次方程 探究1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) ( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18. 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 ① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) 探究2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　 根据题意，可得方程：　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 6 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 　　　m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m , 根据题意，可得方程： 探究3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？ 6 (x+6) 72 + (x + 6)2 = 102. 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1 m x m 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 活动总结 观察上述方程①、 ②、 ③，它们有什么共同特点呢？ 2x2－13x＋11＝0 ① x2－8x－20＝0 ② x2＋12x－15＝0 ③ 特点：1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是2； 3.整式方程． 归纳总结 方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的概念 ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 一元二次方程的一般形式 ax2是二次项， a是二次项的系数， bx是一次项， b是一次项系数， c是常数项． 应用举例 例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？(1) 7x2－6x＝0；　　　(2) 2x2－5xy＋6y＝0；(3) 2x2－ －1＝0; (4) ＝0；(5) x2＋2x－3＝1＋x2. 【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定． 解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax2这一项． 关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程． 【方法指导】当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程．当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程． 例2 ≠±1 ＝－1 例3 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 点拨 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-