1.3 正方形的性质与判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第一章 特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 情景导入 观察下面的物体，它们在生活中无处不在．想一想，它们都有什么相似之处？ 你还能举出其他的例子吗？ 思考 1.正方形的四条边有什么关系？四个角呢？ 2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3.正方形具有哪些性质呢？ 菱形 矩形 正方形 1. 矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 矩 形 〃 〃 正方形 活动 正方形 2. 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 活动 归纳 邻边相等 矩形 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 ∟ 实践探究 探究1：正方形的概念 什么样的图形叫做正方形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． 有一组邻边相等的矩形是正方形． 准备素材：直尺、量角器、纸片等． （1）将长方形的纸片折出一个正方形． 探究2：正方形的性质 （2）用直尺和量角器测量正方形的四条边长度、四个角度数、对角线的长度及夹角度数和OA、OB、OC、OD的长度，并记录测量结果． A B C D O AB BC CD AD （3）根据测量的结果，你有什么猜想？ 猜想1 正方形的四个角都是直角，四条边相等． 猜想2 正方形的对角线相等且互相垂直平分． ∠ABC ∠BCD ∠ADC ∠BAD AC BD ∠AOB OA OB OC OD 证一证 1. 已知：如图，四边形ABCD是正方形． 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角． A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 2. 已知：如图，四边形ABCD是正方形．对角线AC、BD相交于点O．求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD． A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 活动 折一张正方形纸片，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 正方形是轴对称图形，有4条对称轴． 结论 归纳总结 正方形的性质： (1)边的性质：对边平行且相等，四条边都相等． (2)角的性质：四个角都是直角． (3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角． (4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴，也是中心对称图形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？ 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形,也是特殊的菱形，所以矩形、菱形有的性质，正方形都有． 议一议 平行四边形 菱形 矩形 正方形 应用举例 例1 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. A B D C F E 【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用． 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： (1)∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. A B D C F E (2)延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D C F E M 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长． 例2 【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长． A B C D O E F 解：过点E作EF⊥CD于F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠BDC＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴EF＝DF. ∵CE平分∠ACD交BD于点E， ∴EO＝EF. 又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC， ∴Rt△CEO≌Rt△C