1.1 菱形的性质与判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年九年级上册数学（北师大版）

北师版·九年级上册 数学 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 情景导入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？ 点击按钮，播放视频 实践探究 探究1：菱形的性质 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 思考 归纳总结 定义： 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？ (2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？ 思考 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 点击按钮，播放视频 活动1 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: (1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ (2)菱形中有哪些相等的线段？ 活动2 归纳总结 通过上面的折纸活动，我们可以发现菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，对称轴互相垂直；它的四条边相等． 探究2 如何推理证明“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个性质呢？ A B C O D 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1) AB = BC = CD =AD； (2) AC⊥BD； A B C O D 思考：(1)菱形是特殊的平行四边形，你能从平行四边形的性质证明菱形的四条边相等吗？ (2)可以利用什么性质来证明AC⊥BD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD. A B C O D 归纳 定理 菱形的四条边相等； 定理 菱形的对角线相互垂直. 探究3：定理的拓展延伸 过对“菱形的对角线互相垂直”的证明过程，你还能发现菱形的对角线有什么性质？ 方法提示：由折叠过程或等腰三角形“三线合一”推出菱形对角线的性质． 归纳 菱形的每条对角线平分一组对角． 应用举例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长． 例1 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD(菱形的四条边都相等)，AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝ BD＝ ×6＝3(菱形的对角线互相平分)． 在等腰△ABD中，∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2， ∴OA＝ ，∴AC＝2OA＝ . 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E. 求证：DE＝ BE. 例2 【方法指导】连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝ BE. A B C D E 证明：连接BD. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BD⊥AC，∠DBE＝30°. ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD，即∠BDE＝90°. ∵在Rt△BDE中，∠DBE＝30°， ∴DE＝ BE. A B C D E 随堂练习 1.如图，菱形ABCD的周长为20 cm，对角线AC与BD相交于点O，AC＝