2.3.2等腰三角形的判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（湘教版）

等腰三角形的判定 学习目标 1．探究得出等腰三角形和等边三角形的判定定理． 2．运用等腰三角形及等边三角形的判定定理进行证明和计算． 3．通过推理证明等腰三角形的判定定理，发展推理能力，培养分析、归纳问题的能力． 【学习重点】 掌握等腰三角形的判定定理． 【学习难点】 等腰三角形判定定理的证明运用． 知识回顾 1．在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，且BD＝10cm，则BC＝______cm. 2．在△ABC中，BC＝AC，∠A＝55°，∠C＝______. 20 70° 知识模块一　探究等腰三角形的判定定理 (一)合作探究 自学互研 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？ 我测量后发现AB与AC相等. 如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折， 得∠BAC的平分线AD交BC于点D， 则∠1=∠2. 又∠B=∠C， 由三角形内角和的性质得 ∠ADB=∠ADC. D 1 2 沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2， 所以射线DB与射线DC重合， 射线AB与射线AC重合. 从而点B与点C重合， 于是AB=AC. 通过探究，我们得到等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称为：等角对等边) 思考：在三角形中，如果有三个角相等，你能得出什么结论呢？ 结合三角形内角和定理得出等边三角形的判定定理： 三个角都是_______的三角形是等边三角形． 60° (二)自主学习 1. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D， 证明 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形. 例1 E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 2．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC，求证AB＝AC. 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. 又∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC(等角对等边)． 知识模块二　运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算 (一)自主学习 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形. 证明: ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60°， 又 AD =AE， ∴△ADE是等边三角形 （有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）. 例2 (二)合作探究 1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BD平分∠ABC，判断AB与AD是否相等，并说明理由． 解：相等．理由如下： ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ADB＝∠ABD. ∴AB＝AD. 2．如图，AB∥CE，AD∥FC，E、A、F在同一直线上，且∠EAD＝∠FAB. (1)△CEF是等腰三角形吗？请说明理由； (2)想一想：△CEF的哪两条边之和等于四边形ABCD的周长？并说明理由． 解：(1)△CEF是等腰三角形．理由如下：∵AB∥CE，∴∠FAB＝∠E. ∵AD∥FC，∴∠EAD＝∠F. 又∵∠EAD＝∠FAB， ∴∠F＝∠E，∴△CEF是等腰三角形． (2)四边形ABCD的周长＝FC＋EC. 理由如下， ∵∠FAB＝∠E，∠EAD＝∠FAB， ∴∠E＝∠EAD，∴AD＝DE. ∵∠EAD＝∠F，∠EAD＝∠FAB. ∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF， ∴四边形ABCD的周长为：AB＋BC＋CD＋AD＝BF＋BC＋CD＋DE＝FC＋EC. 检测反馈 E 2 1 A B C D 72° 36° ③如果AD=4cm，则 1.已知:如图,∠A=36°, ∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= , ∠2= ； ②图中有 个等腰三角形； BC= cm； 72° 36° 3 4 个等腰三角形. ④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 5 2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C D E O 证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠ABD =∠DBC= ， ∠ACE =∠ECB= . ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， 3. 已知：如