5.2排列问题（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

5.2排列问题 分类加法计数原理： 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法. 分步乘法计数原理： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共 有 种不同的方法. 温故知新 弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件, 这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于： （ 1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事； （2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事 ! 温故知新 问题1 要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 解：从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，可以看成是先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动这两个步骤完成，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法； 引入新课 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 探究： 分析：题目转化为顺序排列问题， 上 午 下 午 甲 乙 丙 丙 乙 甲 乙 甲 丙 相应的排法 参加上午的活动的同学选定后，参加下午的活动的同学有2种选法。根据分步计数原理，所求的不同的选法数是 N=3×2=6 故有6种不同的选法。 不同排法如下图所示 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 我们把上面问题中被选的对象 (同学）叫做元素。于是，所提出 的问题就是从3个不同的元素甲、 乙、丙中任取2个，然后按一定的 顺序排成一列，求一共有多少种 不同的排列方法。 新知学习 问题2 3名同学排成一行照相，共有多少种排法？ 分析　设3名同学分别为A，B，C.将3名同学排成一行，可以看作将字母A，B，C放入如图（1）的方格中. 第1步：第一个位置可以从A，B，C三人中任选1人，有3种方法； 第2步：第二个位置可以从除了已经排在第一个位置的人之外的2个人中任选1人，有2种方法，即第一个位置的每一种方法都对应2种方法； 第3步：第三个位置只能是除了已经排在第一个位置和第二个位置的2个人之外剩下的1人，有1种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应1种方法，如图（2）. 因此，根据分步乘法计数原理，3名同学排成一行照相，共有N＝3×2×1＝6种排法. （1） （2） 问题3 北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航，请列举出所有机票的情况，并指出共有多少种机票. 分析　北京、广州、南京、武汉4个城市间有多少种机票，是指起点和终点不同的机票共有多少种. 第1步：确定可以作为起点的城市，有4种方法； 第2步：作为终点的城市可以从起点城市之外的3个城市中任选1个，有3种方法.如图. 因此，根据分步乘法计数原理，北京、广州、南京、武汉4个城市间，共有4×3＝12种机票. 问题4　从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 分析 从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中，选出3面排成一排作为信号，相当于从4面 不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中取出3面旗子放入如图（1）的3个方格中. 第1步：第一个位置可以从4面不同颜色的旗子中任选1面，有4种方法； 第2步：第二个位置可以从除了确定在第一个位置的那面旗子之外的3面中任选1面，有3种方法，即第一个位置的每一种方法都对应3种方法； 第3步：第三个位置只能从除了确定在第一个位置和第二个位置的2面之外剩下的2面中任选1面，有2种方法，即第一个位置和第二个位置确定的每一种方法都对应2种方法，如图（2）.因此，根据分步乘法计数原理，从4面不同颜色（红、黄、蓝、绿）的旗子中