三角形中的最值或范围问题 课件-2024届高三数学一轮复习

三角形中的最值或范围问题 清水中学 解三角形问题一直是高考数学的必考点，在解三角中求其周长或面积的最值和范围问题是比较常见的题型，这类问题常常与函数，不等式，几何等知识综合，求解时应用正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，并结合三角式的变形，基本不等式或函数来解决。有一定的难度。需要学生掌握。 解决这类问题的基本思路有两个：边化角，角化边。在实际应用中，考生都需要熟练掌握。 基本公式： 正弦定理：===2R a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=,sinB=,sinC= a:b:c=sinA:sinB:sinC 余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC cosA= cosB= cosC= 三角形中常用的面积公式 S=aha(ha表示边a上的高); S=absin C=acsin B=bcsin A; S=absin C=acsin B=bcsin A; 解：⑴ 因为（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC，即sin2B+sin2C-2sinBsinC=sin2A-sinBsinC 所以b2+c2-a2=bc 由余弦定理cosA=，所以cosA= 又0＜A＜π,所以A= 例：在ΔABC中，（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC ⑴求A.⑵若a=3,求ΔABC周长的最大值。 ⑵思路1：应用角化边后，基本不等式解决 由⑴可知， b2+c2-a2=bc，且a=3 所以9=b2+c2-bc 即9=（b+c）2-3bc 3bc= （b+c）2-93（）2 当且仅当b=c时取等号 即（b+c）29 （b+c）2 36 b+c 6 所以ΔABC的周长的最大值为9 ⑵思路2：应用边化角后，利用三角函数解决。 由正弦定理：==，a=3,A= 所以b= C== 所以ΔABC的周长为a+b+c=3+ + =3+ + =3+3cosC+3 sinC =3+6（cosC+sinC） =3+6sin（C+ ） 又0C＜ 所以＜C+ ＜ 所以sin（C+ ）1 即3+6sin（C+ ）9 所以ΔABC的周长的最大值为9 深入思考1：将⑵中“ΔABC周长的最大值”改为“锐角ΔABC周长的范围”，以上的两种方法都适用吗？ 注意：因为添加角的范围，角化边的适用性减弱，最好用边化角， 由正弦定理：==，a=3,A= 所以b= C== 所以ΔABC的周长为a+b+c=3+ + =3+ + =3+3cosC+3 sinC =3+6（cosC+sinC） =3+6sin（C+ ） 又0C＜ 且0＜B＜ 所以＜C< 所以＜C+ ＜ 所以＜sin（C+ ）1 即3+3 ＜3+6sin（C+ ）9 所以ΔABC的周长的范围为（ 3+3 ，9］ 深入思考2：将⑵中“ΔABC周长的最大值”改为“求ΔABC的面积的最大值”，以上方法还适用吗？ 思路1：边化角 由正弦定理：==，a=3,A= 所以b= C== 所以ΔABC的面积为bcsinA= sin =sinC =3 sinC =sin（2C+）+ （0＜C＜ ） ΔABC的面积为 思路2：角化边 由⑴可知， b2+c2-a2=bc，且a=3 所以9=b2+c2-bc 即b2+c2=9+bc 所以9+bc=b2+c2＞＝2bc,当且仅当b=c时取等号 所以bc 9,当且仅当b=c时取等号 所以ΔABC的面积为bcsinA 9 sin = 总结：基本方法 已知条件 （角化边或角化边） 边或角代数式 （基本不等式或三角函数值域） 最值 练习： 1.在锐角ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a,b ,c,且c—2bccosA=b. （1）求证：A=2B （2）若b=2,求a的取值范围。 2（.2022新高考18）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a,b ,c,且A+2B=,求的最小值。 $$