第01讲 5.1任意角和弧度制（知识清单+11类热点题型精讲+强化分层精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 5.1任意角和弧度制 课程标准 学习目标 ①理解并掌握正角、负角、零角的概念。 ②掌握象限角的范围，掌握终边相同的角的表示方法及判定方法。 ③了解弧度制，能进行弧度与角度的互 化。 ④由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数。 ⑤掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式，能用公式进行简单的弧长及面积运算。 1.通过本节课的学习，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角； 2掌握弧度制与角度制的互化，； 3.记住特殊角的弧度制； 4.掌握与弧度制相关的弧长公式和面积公式的运用； 知识点01：任意角 1、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 2、角的分类 ①正角:按逆时针方向旋转所形成的角. ②负角:按顺时针方向旋转所形成的角. ③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 3、角的运算 设，是任意两个角，为角的相反角． (1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转） (2)： 【即学即练1】（2023秋·高一课时练习）若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 【答案】50° 【详解】因为由逆时针旋转得到，所以. 故答案为： 知识点02：象限角 1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限. 2、象限角的常用表示： 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 知识点03：轴线角 1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角. 2、轴线角的表示： ① 终边落在轴非负半轴 ② 终边落在轴非负半轴 ③ 终边落在轴非正半轴 或 ④ 终边落在轴非正半轴 或 ⑤ 终边落在轴 ⑥ 终边落在轴 或 ⑦ 终边落在坐标轴 知识点04：终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 【即学即练2】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）下列各角中，与角终边重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与角终边重合的角为：，则当时，，故C正确. 经检验，其他选项都不正确. 故选：C. 知识点05：角度制与弧度制的概念 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 3、常用的角度与弧度对应表 角度制 弧制度 【即学即练3】（2023·全国·高一课堂例题）利用单位圆，写出，，，的圆心角的弧度数． 【答案】；；； 【详解】在单位圆中， 的圆心角的弧长是，那么它对应的弧度数是； 的圆心角的弧长是，那么它对应的弧度数是； 的圆心角对应的弧度数是； 的圆心角对应的弧度数是． 知识点06：扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 【即学即练4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为9，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以该扇形的面积为． 故选：A 题型01任意角的概念 【典例1】（多选）（2023春·高一课时练习）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（    ） A．小赵同学说：“经过了5 h，时针转了．” B．小钱同学说：“经过了40 min，分针转了．” C．小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12:35时，时针与分针所夹的钝角为．” D．小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次．” 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为 . 【变式1】（2023秋·高一课时练习）经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是（   ）. A．60°，720° B．－60°，－720° C．－30°，－360° D．－60°，720° 【变式2】（2023秋·高一课时练习）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为 ，分针转过的角的度数为 ． 题型02终边相同的角 【典例1】（2023春·广西北海·高一统