3.5 三元一次方程组及其解法（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年七年级上册数学（沪科版）

沪科版·七年级上册 数学 第三章 一次方程与方程组 3.5 三元一次方程组及其解法 导入新课 旧知回顾 1．什么是二元一次方程？ 解：设胜x场，平y场，负z场，可得 2．足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队参加了10场比赛，共得18分．已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队胜、平、负各几场？ 答：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 探究新知 【情境1】 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 解：设勇士队胜了x场，平了y场，则 解得 所以这个队胜了5场，又平了2场. 【情境2】在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？这时我们可以设几个未知数解决问题？列出方程后你有什么发现，你能说出你的发现吗？如何解决你所列的方程呢？ 解：设三个未知数，设勇士队胜了x场，平了y场，负了z场，则可得方程为： x+y+z=10 ① 3x+y=18 ② x=y+z ③ 这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 如：把③分别代入①②得 y+z+y+z=10 3（y+z）+y=18 通过消元，把解三元一次方程组的问题转化成解二元一次方程组的问题. 2y+2z=10 ④ 4y+3z=18 ⑤ 整理得 ④×2 ⑤×1 由 4y+4z=20 ⑥ 4y+3z=18 ⑦ 得 由⑥-⑦得z=2,把z=2代入④得2y+4=10,即y=3, 通过消元，把解二元一次方程组的问题转化成解一元一次方程组的问题. 把z=2,y=3,代入③得 x=5.所以 x=5 y =3 z=2 例题与练习 例1 解方程组： x+y+2z=3, ① -2x-y+z =-3, ② x+2y-4z=-5. ③ 解 先用加减消元法消去x： ②+①×2，得y+5z=3 ④ ③-①，得y-6z=-8 ⑤ 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组： ④-⑤，得11z=11, ⑥ 所以z=1. ⑦ 将⑦代入④，得 y=-2. 将y,z的值代入①，得x=3. 所以 x=3 y =-2 z=1 下列方程组是三元一次方程组的是(　 　) B 典例 下列方程组是三元一次方程组的是(　 　) A 仿例 例2 解《九章算术》第八章第一题的方程组 ③ ① ② 解：先用加减法消去z： ①-②, ②×3-③,得 ③ ⑥ ⑤ ④×7+⑤,得 ③ ④ ⑤ 通过回代，解得： 若是先消去y,该如何做呢？ 例题与练习 练习 1. 解下列方程组： x+y+z=6, 2x+3y-z =4, 3x-y+z=8. （1） 解: x+y+z=6, ① 2x+3y-z =4, ② 3x-y+z=8. ③ ①+②，得 3x+4y=10 ④ ②+③，得 5x+2y=12 ⑤ ⑤×2-④，得 7x=14 所以x=2 ⑥ 将⑥代入⑤，得 y=1. 将x,y的值代入①得z=3. x=2, y=1, z=3. 所以 ①×2+③，得8x+11z=6 ④ ②×4- ④ ，得 -3z=18 所以z=-6 ⑤ 将⑤代入②，得 x=9. 解: 2x-y+3z=1, ① 2x+2z =6, ② 4x+2y+5z=4. ③ 2x-y+3z=1, 2x+2z =6, 4x+2y+5z=4. （2） x=9, y=-1, z=-6. 将x,z的值代入①得y=-1.所以 例3 幼儿营养标准中要求一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素。现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A,B,C三种食物，下表给出的是每份（50g）食物A,B,C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位） 食物 铁 钙 维生素 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A,B,C的份数. （1）如果设食谱中A, B, C三种食物各为x, y, z三份，请列出方程组，使得A,B,C三种食物