第五章 2.1 实际问题的函数刻画-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　实际问题中的函数模型 2．1　实际问题的函数刻画 　实际问题的函数刻画 背景：四条腿一样长，且四脚连线成正方形的椅子放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？ 探究：依照经验，如果椅子没放稳，只要前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了，也就是说答案是肯定的． 结论：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但最多的还是使用解析式. [小组探究] 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． 解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0)． (2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96. 当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x＜96时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 当x＞96时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜． [互动探究] 　用图象刻画生活中的函数实际问题 　如果某林区森林面积每年比上一年平均增长10%，经过x年可以增长到原来的y倍，那么函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：假设原来森林面积为1，则y＝(1＋10%)x＝1.1x，故选D. 答案：D 用图象、表格刻画函数应用题是高考中一道亮丽的风景线，这类问题是由图表给出数据信息，探求变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，从而解决实际问题． 1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) 解析：当h＝H时，体积是V，故排除A、C. h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综上分析可知选B. 答案：B 　用函数模型刻画生活中的实际问题 　为了估计山上积雪融化后对下游农田灌溉的影响，在山上建立了一个观测站，测量最大积雪深度x(单位：cm)与当年灌溉面积y(单位：hm2)．现有连续10年的实测资料，如下表所示： 年份 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 33.6 5 26.4 49.8 6 23.4 42.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； (2)建立一个能反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； (3)已知今年最大积雪深度为25 cm，根据建立的函数模型，求灌溉面积． 【解】　(1)图象如图①所示． (2)从图①可以看出，数据点大致落在一条直线附近，由此我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx. 取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得解得 这样我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.2，如图②所示． 可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映灌溉面积与最大积雪深度的关系． (3)当x＝25时，y＝1.8×25＋2.2＝47.2. 故当最大积雪深度为25 cm时，灌溉面积为47.2 hm2. 建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． 步骤：(1)画出两组数据的散点图；(2)确定拟合函数；(3)利用待定系数法求出解析式；(4)进行检验和预测． 2．网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表(如图所示)，第一行是脚的长度(新鞋码)，第二行是我们习惯称呼的“鞋号(旧鞋码)”． 新鞋码/mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 旧鞋码/码 34 35 36 37 38 39 40 41 42 (1)从表格中可得出脚长与鞋号有怎样的关系？ (2)如果看到一款“30码”的女童鞋，知道对应多大的脚吗？ (3)一名脚长为262 mm的女篮运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 解：(1)若要通过表得到对照表中