第四章 2.1 对数的运算性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　对数的运算 2．1　对数的运算性质 　对数的运算性质 现象：对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性． 结论：设a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.取α＝logaM，β＝logaN，则aα＝M，aβ＝N.根据指数幂的运算性质可得： 对数运算具有如下性质： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMb＝blogaM． [小组探究] 1．lg 2＋lg 5＝________． 2．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式中： (1)logax·logay＝loga(x＋y)； (2)logax－logay＝loga(x－y)； (3)loga(xy)＝logax·logay； (4)＝loga； (5)(logax)n＝logaxn； (6)logax＝－loga； (7)＝loga； (8)loga＝－loga. 成立的是________． 答案：1.1　2.(6)(7)(8) [互动探究] 　利用对数的运算性质进行运算 　化简： (1)log2 ＋log2 12－log2 42－1； (2)2(lg )2＋lg ·lg 5＋ ； (3)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2. 【解】　(1)原式＝log2 ＋log2 12－log2 －log2 2＝log2＝log2＝－. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋ ＝lg (lg 2＋lg 5)＋1－lg ＝lg ＋1－lg ＝1. (3)原式＝lg－lg ＋50[lg(2×5)]2 ＝lg 800－lg 8＋50＝lg＋50＝52. 利用对数的运算性质进行运算时，应先将真数中的积、商、幂应用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；或是将式中对数的和、差、积应用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值． 1．计算：(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5. 解：(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5 ＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5 ＝lg 10·[(lg 2＋lg 5)2－3lg 2·lg 5]＋3lg 2·lg 5 ＝12－3lg 2·lg 5＋3lg 2·lg 5＝1. 　带有附加条件的对数式与指数式的求值方法 对数式与指数式的相互转化：ax＝N(a＞0且a≠1)⇔x＝logaN(a＞0且a≠1)．对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段． 　(1)设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________； (2)设x＝log23，则＝________． 【解析】　(1)∵loga2＝m，∴am＝2，∴a2m＝4. ∵loga3＝n，∴an＝3， ∴a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12. (2)由x＝log23，得2x＝3，2－x＝， ∴＝＝32＋3×＋＝. 【答案】　(1)12　(2) 基础巩固 1．使式子log(x－1)(x2－1)有意义的x的取值范围是(　　) A. {x|x＜－1或x＞1} B. {x|x＞1且x≠2} C. {x|x＞1} D. {x|x≠2} 答案：B 2．对于a＞0，且a≠1，下列说法中正确的是(　　) ①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2. A. ①③ B. ②④ C. ② D. ①②③④ 答案：C 3．(多选题)若ab＞0，则下列四个选项中不成立的有(　　) A. lg(ab)＝lg a＋lg b B. lg＝lg a－lg b； C. lg＝lg D. lg(ab)＝ 解析：A、B中等式成立的前提是a＞0，b＞0；D中等式成立的前提是ab≠1.只有C中等式成立． 答案：ABD 4．若3a＝2，则log38－2log36用含a的代数式可表示为(　　) A. a－2 B. 3a－(a＋1)2 C. 5a－2 D. 3a－a2 答案：A 5．log2 ＝________，log＝________． 答案：－　－ 6．化简：4lg 2＋3lg 5－lg. 解：原式＝lg＝lg(24×54) ＝lg(2×5)4＝4. 能力提升 7．lg x＝a，lg y＝b，则lg－lg的值为(　　) A. a－2b－2 B. a－2b＋1 C. a－2b－1 D. a－2b＋2 解析：原式＝lg x－2(lg y－1)＝a－2b＋2. 答案：D 8．设5log5(2x