第四章 §1 对数的概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　对数的概念 　对数的概念 背景：薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，经测算薇甘菊的侵害面积S(单位：hm2)与年数t满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值． 探究：现在，设经过t年后，薇甘菊的侵害面积会增长到原来的5倍．如何求t的值？ 结论：(1)定义：一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 可以看出，给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算．显然，根据对数的定义，有alogaN＝N． 当对数的底数a＝10时，通常称之为常用对数，并将log10N简记为lg_N． 以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称之为自然对数，并将logeN简记为ln_N． (2)基本性质：(1)logaN(a＞0，a≠1)N的取值范围为(0，＋∞)． (3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)，loga1＝0，loga＝－1(a＞0，且a≠1)． [小组探究] 1．填空： (1)36＝729改为对数式为________． (2)64－＝改为对数式为________． (3)lg 0.000 001＝－6改为指数式为________． (4)ln e3＝3改为指数式为________． 答案：(1)log3729＝6　(2)log64＝－　 (3)10－6＝0.000 001　(4)e3＝e3 2．求下列对数的值． (1)log1717＝________；(2)log0.41＝________； (3)lg 2＋lg5＝________；(4)ln e＝________； (5)log9＝________；(6)2log3＝________． 答案：(1)1　(2)0　(3)1　(4)1　(5)－2　(6)3 3．求下列各式中的x的值． (1)log3x＝4；(2)logx64＝2；(3)3x＝5. 答案：(1)x＝34　(2)x＝8　(3)x＝log35 [互动探究] 　应用对数的基本性质求值 　给出下列各式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 【解析】　∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确；∵ln e＝1，∴lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；由log25x＝，得x＝25＝5，④错误． 【答案】　①② 　求下列各式的值． (1)2 log3＋3log3； (2)22＋log； (3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3. 【解】　(1)因为2log3＝3，3log2＝2， 所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×2 log＝4×＝. (3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e－1·eln 3＝·3＝. 1．求对数时可以先将对数式转化为指数式，然后再求指数，当然这种方法只对一些特殊的数适用． 2．利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式． 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A. e0＝1与ln 1＝0 B. 8－＝与log8＝－ C. log39＝2与9＝3 D. log77＝1与71＝7 答案：C 2．计算：(1) 9log4＝________； (2)＝________． 解析：(1)9log4＝(9)log4＝3log4＝4. (2)原式＝×＝3×(3－1)log32 ＝3×(3log32)－1 ＝3×2－1 ＝. 答案：(1)4　(2) 　求对数中的未知量 　求下列各式中x的值． (1)log5(log3x)＝0； (2)log2x·log34·log59＝8； (3)ln[log2(lg x)]＝0. 【解】　(1)设t＝log3x，则log5t＝0， 所以t＝1，即log3x＝1，所以x＝3. (2)∵log2x·log34·log59＝··＝··＝8，∴lg x＝2lg 5，∴x＝25. (3)由ln[log2(lg x)]＝0， 得log2(lg x)＝1， 所以lg x＝2， 故x＝102＝100. 【探究】　若lg[log(2x2－1)(3x2＋2x－1)]＝0.求x. 解：由题意知log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1， ∴∴x＝－2或x＝0(舍) 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题． 3．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A. 9　　 B. 8　　　 C.