第三章 指数运算与指数函数 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 考点一　考查指数函数的定义域、值域 主要针对与指数函数复合，与指数函数经过运算的初等函数的定义域、值域问题． 　(1)函数f(x)＝ ＋的定义域为(　　) A. (－3，0] B. (－3，1] C. (－∞，－3)∪(－3，0] D. (－∞，－3)∪(－3，1] 【解析】　由题意得∴－3＜x≤0. 【答案】　A 对于形如y＝af(x)型的函数求值域，首先求f(x)的值域，再根据y＝ax的单调性，求af(x)的值域． 考点二　考查指数函数图象 主要考查与指数有关的函数图象的辨识、应用． 　(1)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________． 【解析】　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1. 【答案】　1 (2)函数y＝的图象大致是(　　) 【解析】　因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x＜0时，y＞0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选C. 【答案】　C 1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 2．对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 考点三　以指数函数为载体考查函数的奇偶性、单调性 由于指数幂的运算的特殊性，使得指数函数与函数单调性、奇偶性的结合形式更多样．题目多以指数函数为载体，以指数幂的运算为桥梁考查函数的奇偶性、单调性． 　(1)(多选题)若函数f(x)＝是奇函数，则下列选项中x的取值范围能使得f(x)＞3成立的是(　　) A. (－∞，－1)　　　　　 B. C. D. 【解析】　f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)得＝－，即1－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝.由f(x)＞3得0＜x＜1.故选项BCD都符合． 【答案】　BCD (2)已知函数f(x)＝2x＋2ax(a为实数)，且f(1)＝. ①求函数f(x)的解析式； ②判断函数f(x)的奇偶性并证明； ③判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明． 【解】　①∵f(x)＝2x＋2ax(a为实数)，且f(1)＝. ∴f(1)＝2＋2a＝，得2a＝，即a＝－1，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋2－x. ②函数f(x)为偶函数． 证明：易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，则函数f(x)是偶函数． ③函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． 证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－＝(2x1－2x2)， ∵y＝2x是增函数，0≤x1＜x2， ∴2 x1－2 x2＜0，1－＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数． 综合应用函数的奇偶性、单调性的定义及幂指数的运算． 考点四　有关指数函数的实际应用 实际生活中两个变量之间的关系常用指数型函数来拟合． 　为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示．根据提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【解析】　(1)从题图中可以看出线段的端点分别为(0，0)，.所以在0≤t≤时，函数表达式为y＝10t.点也在函数y＝的图象上． 故a＝.t＞时，y＝.函数关系式为y＝ (2)≤0.25，得t－≥，即t≥0.6. ∴至少需要0.6小时． 【答案】　(1)y＝　(2)0.6 有关指数函数问题的应用，是从实际生活中抽象出来的指数问题，根据实际意义确定是什么样的指数函数和解决什么问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$